Векторная алгебра


Купить Apple iPhone SE 32GB, Space Grey в интернет-магазине OZON.ru с доставкой. Смартфон Apple по лучшей цене - Выбирайте!Купить Apple iPhone SE 32GB, Space Grey в интернет-магазине OZON.ru с доставкой. Смартфон Apple за 19 088, 50 руб. - Выбирайте!
    Основные определения.

  • Вектор (геометрический вектор) — это направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной).
    На чертеже вектор обозначается стрелкой
    Геометрический вектор
    над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка overline{AB},~overline{a}.
    Вектор, фигурирующий в определении, носит название связанного, или закрепленного вектора.
  • Закрепленный вектор overline{AB} — это направленный отрезок АВ, началом которого является точка А, а концом — точка В.
    Свободный вектор — это множество всех закрепленных векторов, получающихся из фиксированного закрепленного вектора с помощью параллельного переноса. Обозначается overline{a}.
    Если же точка приложения вектора (точка A для вектора overline{AB}) может быть выбрана произвольно, вектор называется свободным.
    Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор является представителем бесконечного множества связанных или скользящих векторов.
  • Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают: overline{0}=delim{|}{overline{0}}{|}=0
  • Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
    Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
  • Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
    Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны.
  • Длина вектора (модуль) — это расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: delim{|}{overline{AB}}{|} или delim{|}{overline{a}}{|}
  • Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Например, overline{a}=overline{b}
    Вектор a=b
    Алгебраические операции над векторами.

  • Операция сложения.
    Суммой двух свободных векторов overline{a} и overline{b} называется свободный вектор overline{c}, начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго, если совмещены конец вектора overline{a} и начало вектора overline{b}.
    Сумма двух векторов overline{a} и overline{b} (overline{a}+overline{b}) — это вектор, идущий из начала вектора overline{a} в конец вектора overline{b} при условии, что начало вектора overline{b} приложено к концу вектора overline{a} (правило треугольника).
    Сумма векторов a+b
    Свойства операции сложения векторов:
    1) Переместительное свойство: overline{a}+overline{b}=overline{b}+overline{a} (коммутативность).
    2) Сочетательное свойство: (overline{a}+overline{b})+overline{c}=overline{a}+(overline{b}+overline{c}) (ассоциативность).
    3) Существует нулевой вектор overline{0}, такой, что overline{a}+overline{0}=overline{a} для любого вектора overline{a} (особая роль нулевого вектора).
    Нулевой вектор overline{0} порождается нулевым закрепленным вектором, то есть точкой.
    4) Для каждого вектора overline{a} существует противоположный ему вектор {overline{a}}{prime}={-{overline{a}}}, такой, что overline{a}+({-}overline{a})=overline{0}. Вектор -{overline{a}} называется вектором, противоположным вектору overline{a}.
    Правило параллелограмма (правило сложения векторов): если векторы overline{a} и overline{b} приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма overline{a}{+}overline{b} этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов overline{a} и overline{b}
    Правило параллелограмма (правило сложения векторов)
    Вычитание векторов определяется через сложение: overline{a}{-}overline{b}={overline{a}}+({-}overline{b}).
    Другими словами, если векторы overline{a} и overline{b} приложены к общему началу, то разностью векторов overline{a} и overline{b} будет вектор overline{a}{-}overline{b}, идущий из конца вектора overline{b} к концу вектора overline{a}.
    Вычетание векторов
  • Операция умножения вектора на число.
    Умножение вектора на число
    Произведением вектора overline{a} на число {lambda}~{in}~{R} называется вектор overline{b}={lambda}{overline{a}} такой, что:
    1) если λ > 0, {overline{a}}{overline{0}}, то {lambda}{overline{a}} получается из {overline{a}} растяжением в λ раз: delim{|}{{lambda}{overline{a}}}{|}={lambda}delim{|}{{overline{a}}}{|};
    2) если λ < 0, {overline{a}}{overline{0}}, то {lambda}{overline{a}} получается из {overline{a}} растяжением в |λ| раз и последующим отражением: delim{|}{{lambda}{overline{a}}}{|}={delim{|}{lambda}{|}}{delim{|}{overline{a}}{|}};
    3) если λ = 0 или {overline{a}}=0, то {lambda}{overline{a}}={overline{0}}.
    Свойства операции умножения:
    1) Распределительное свойство относительно суммы чисел: ({{lambda}_1}+{{lambda}_2}){overline{a}}={{lambda}_1}{overline{a}}+{{lambda}_2}{overline{a}} для любых действительных {{lambda}_1},~{{lambda}_2} и всех overline{a} (дистрибутивность).
    2) Распределительное свойство относительно суммы векторов: {lambda}({overline{a_1}}+{overline{a_2}})={lambda}{overline{a_1}}+{lambda}{overline{a_2}} (дистрибутивность).
    3) Сочетательное свойство числовых сомножителей: ({{lambda}_1}{{lambda}_2}){overline{a}}={{lambda}_1}({{lambda}_2}{overline{a}}) (ассоциативность).
    4) Существование единицы: 1*{overline{a}}={overline{a}}.
    Разложение вектора по базису.

  • Базис и координаты.
    Базис в пространстве — это три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
    Базис на плоскости — это два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.
    Базис на прямой — это любой ненулевой вектор этой прямой.
  • Теорема. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.
    Разложение вектора по базису
    Другими словами, если {overline{a}},~{overline{b}},~{overline{c}} — три некомпланарных вектора в пространстве, то любой вектор {overline{d}} может быть записан в виде: {overline{d}}={alpha}{overline{a}}+{beta}{overline{b}}+{gamma}{overline{c}}.
    Коэффициенты разложения вектора по базису — это координаты вектора в данном базисе, и в каждом базисе определяются однозначно:
    {overline{d}}={alpha}{overline{a}}+{beta}{overline{b}}+{gamma}{overline{c}}=delim{lbrace}{{alpha},~{beta},~{gamma}}{rbrace}.
    Теорема. При сложении двух векторов {overline{d_1}} и {overline{d_2}} их координаты (относительно любого базиса) складываются. При умножении вектора {overline{d_1}} на любое число alpha все его координаты умножаются на это число.
    Система координат в пространстве — это совокупность базиса delim{lbrace}{{overline{a}},~{overline{b}},~{overline{c}}}{rbrace} и некоторой точки, называемой началом координат.
    Радиус-вектор точки M — это вектор overline{OM}, идущий из начала координат в точку M.
    Координаты точки M({alpha},~{beta},~{gamma}) — это координаты вектора overline{OM}.
    Таким образом, координаты радиус-вектора overline{OM} и координаты точки M совпадают.
    Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат.

  • Ортонормированный базис (ОНБ) — это три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.
    Декартова прямоугольная система координат
    Обозначения: delim{lbrace}{{overline{i}},~{overline{j}},~{overline{k}}}{rbrace},~delim{|}{overline{i}}{|}=delim{|}{overline{j}}{|}=delim{|}{overline{k}}{|}=1
  • Базисные орты — это векторы {overline{i}},~{overline{j}},~{overline{k}}.
  • Зафиксированная точка О – это начало координат.
    Отложим от точки O векторы {overline{i}},~{overline{j}},~{overline{k}}.
    Полученная система координат — это прямоугольная декартова система координат.
  • Декартовы координаты вектора — это координаты любого вектора в этом базисе:
    overline{a}=delim{lbrace}{{x},~{y},~{z}}{rbrace}=x{overline{i}}+y{overline{j}}+z{overline{k}}
    Пример 11.
  • Координатные оси — это прямые линии, проведенные через начало координат (точку O) по направлениям базисных векторов:
    overline{i} – порождает Ox;
    overline{j} – порождает Oy;
    overline{k} – порождает Oz.
  • Абсцисса — это координата точки M (вектора overline{OM} в декартовой системе координат по оси Ox.
    Ордината — это координата точки M (вектора overline{OM} в декартовой системе координат по оси Oy.
    Аппликата — это координата точки M (вектора overline{OM}) в декартовой системе координат по оси Oz.
  • Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора overline{a} равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz, соответственно. Иначе:
    x=np_{OX}overline{a}=delim{|}{overline{a}}{|}cos{alpha},~y=np_{OY}overline{a}=delim{|}{overline{a}}{|}cos{beta},~z=np_{OZ}overline{a}=delim{|}{overline{a}}{|}cos{gamma},
    где α, β, γ – углы, которые составляет вектор overline{a} с координатными осями Ox, Oy, Oz, соответственно, при этом cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора overline{a}. Пример 12.
    Для направляющих косинусов справедливо соотношение:
    cos^2{alpha}+cos^2{beta}+cos^2{gamma}=1
  • Орт направления — это вектор overline{a_0}={overline{a}}/{delim{|}{overline{a}}{|}}=delim{lbrace}{{cos{alpha}},~{cos{beta}},~{cos{gamma}}}{rbrace} единичной длины данного направления.
    Скалярное произведение векторов ({overline{a}}*{overline{b}}).

  • Скалярное произведение двух векторов ({overline{a}}*{overline{b}}) — это число ({overline{a}}*{overline{b}})={delim{|}{overline{a}}{|}}*{delim{|}{overline{b}}{|}}*cos{varphi}, где {varphi}=(hat{{overline{a}},~{overline{b}}})
  • Выражение скалярного произведения в декартовых координатах:
    ({overline{a}}*{overline{b}})={a_x}{b_x}+{a_y}{b_y}+{a_z}{b_z}
  • Алгебраические свойства скалярного произведения:
    1) ({overline{a}}*{overline{b}})=({overline{b}}*{overline{a}});
    2) (({alpha}{overline{a}})*{overline{b}})={alpha}({overline{a}}*{overline{b}});
    3) (({overline{a}}+{overline{b}})*{overline{c}})=({overline{a}}*{overline{c}})+({overline{b}}*{overline{c}});
    4) ({overline{a}}*{overline{a}})>0″ title=»({overline{a}}*{overline{a}})>0″/>, если <img src= — не нулевой вектор и ({overline{a}}*{overline{a}})=0, если overline{a} — нулевой вектор.
  • Длина вектора {delim{|}{overline{a}}{|}}:
    {delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{({overline{a}}*{overline{a}})}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}
    Пример 13.
  • Косинус угла между векторами:
    cos(hat{overline{a},~overline{b}})={(overline{a}*overline{b})}/{delim{|}{overline{a}}{|}}*{delim{|}{overline{b}}{|}}
  • Проекция вектора overline{a} на вектор overline{b}:
    {{np}_{overline{b}}}overline{a}={(overline{a}*overline{b})}/{delim{|}{overline{b}}{|}}={delim{|}{overline{a}}{|}}*cos(hat{overline{a},~overline{b}})
  • Условие перпендикулярности ненулевых векторов overline{a} и overline{b}:
    (overline{a}*overline{b})=0
  • Векторное произведение векторов overline{c}=delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}:
    1) модуль delim{|}{overline{c}}{|}=delim{|}{delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}}{|}={delim{|}{overline{a}}{|}}*{delim{|}{overline{b}}{|}}*sin{varphi}, где {varphi}=(hat{{overline{a}},~{overline{b}}});
    2) {overline{c}}~{ortho}~{overline{a}},~{overline{c}}~{ortho}~{overline{b}};
    3) тройка векторов {overline{a}}~{overline{b}}~{overline{c}} — правая.
  • Алгебраические свойства векторного произведения:
    1) delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}={-}delim{[}{overline{b}*overline{a}}{]};
    2) delim{[}{{alpha}overline{a}*overline{b}}{]}={alpha}delim{[}{overline{b}*overline{a}}{]},~ a~{in}~R;
    3) delim{[}{(overline{a}+overline{b})*overline{c}}{]}=delim{[}{overline{a}*overline{c}}{]}+delim{[}{overline{b}*overline{c}}{]};
    4) delim{[}{overline{a}*overline{a}}{]}=overline{0}~{forall}~overline{a}.
  • Выражение векторного произведения в декартовых координатах:
    delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}=delim{|}{matrix{3}{3}{{overline{i}} {overline{j}} {overline{k}} {a_x} {a_y} {a_z} {b_x} {b_y} {c_z}}}{|}.
  • Геометрические свойства векторного произведения:
    1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах overline{a} и overline{b} равна:
    S_{nap}=delim{|}{delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}}{|}.
    2) Условие коллинеарности ненулевых векторов overline{a} и overline{b}:
    delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}=0.
  • Двойное векторное произведение векторов:
    delim{[}{overline{a}*delim{[}{overline{b}*overline{c}}{]}}{]}=overline{b}(overline{a}*overline{c})-overline{c}(overline{a}*overline{b}).
  • Смешанное произведение векторов:
    (delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}*overline{c})=(overline{a}*delim{[}{overline{b}*overline{c}}{]})=overline{a}~overline{b}~overline{c}.
    overline{a}~overline{b}~overline{c}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_x} {a_y} {a_z} {b_x} {b_y} {b_z} {c_x} {c_y} {c_z}}}{|}.
  • Объем параллелепипеда:
    V=delim{|}{overline{a}~overline{b}~overline{c}}{|}. Пример 14.
  • Объем пирамиды:
    V={1/6}delim{|}{overline{a}~overline{b}~overline{c}}{|}. Пример 15.
  • Условие компланарности {overline{a},~overline{b},~overline{c}}:
    {overline{a}~overline{b}~overline{c}}=0