Решение рядов


Формулы и уравнения рядов здесь.

Пример. Исследование на сходимость и сумма ряда.

Дано: ряд sum{n=1}{infty}{1/{(2n-1)*(2n+1)}}
Найти: сумму ряда в случае его сходимости.

Решение.

Представим члены ряда в виде суммы двух слагаемых:
a_n={1/{2(2n-1)}}-{1/{2(2n+1)}}; a_{n-1}={1/{2(2n-3)}}-{1/{2(2n-1)}};cdots;~a_3={1/10}-{1/14}; a_2={1/6}-{1/10};~a_1={1/2}-{1/6}.

Получается, что n-я частичная сумма ряда может быть записана в виде:
S_n=a_1+a_2+a_3+cdots+a_n={1/2}-{1/{2(2n+1)}}.

Отсюда следует, что lim{n{right}infty}{({1/2}-{1/{2(2n+1)}})}=1/2.

Ряд сходится. Сумма ряда равна 1/2.

Пример. Необходимый признак сходимости рядов.

Дано: ряд sum{n=1}{infty}{{2n+3}/{5n-1}}
Найти:
Проверить выполнение необходимого признака сходимости рядов.

Решение.

Необходимый признак сходимости рядов заключается в том, что если числовой ряд sum{n=1}{infty}{a_n} сходится, то lim{n{right}infty}{a_n}=0.
Как следствие, если lim{n{right}infty}{a_n} ≠ 0, то ряд sum{n=1}{infty}{a_n} расходится.

Для данного в задаче числового ряда:
lim{n{right}infty}{a_n}=lim{n{right}infty}{{2n+3}/{5n-1}}=lim{n{right}infty}{{2n}/{5n}}=2/5 ≠ 0. Ряд расходится.

Примеры. Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Дано: ряды
1) sum{n=1}{infty}{{{{sin}^2}n}/{n^3}};
2) sum{n=1}{infty}{{1+ln{n}}/{sqrt{n}}};
3) sum{n=1}{infty}{{2^n+n}/{5^n+3n}};
4) sum{n=1}{infty}{{n+3}/{root{3}{n^5+3n+sqrt{n}}}};
5) sum{n=1}{infty}{{1-cos{1/sqrt{n}}}/{3+2 root{3}{n^4}}};
6) sum{n=1}{infty}{{1+3n}/{2n^2+2ln{n}}}.
Найти:
Исследовать ряды на сходимость.

Решение.

1) Исходя из того, что sum{n=1}{infty}{{{{sin}^2}n}/{n^3}}1/{n^3} при всех n и обобщенный гармонический ряд sum{n=1}{infty}{1/{n^3}} сходится, следует то, что ряд с меньшими членами sum{n=1}{infty}{{{{sin}^2}n}/{n^3}} сходящийся.

2) Исходя из того, что если выполняются условия: ln n ≥ 0 при n ≥ 1, то {{1+ln{n}}/{sqrt{n}}}1/{sqrt{n}} при n ≥ 1.
Обобщенный гармонический ряд sum{n=1}{infty}{{1}/{sqrt{n}}} расходится, следовательно, ряд с большими членами sum{n=1}{infty}{{1+ln{n}}/{sqrt{n}}} также расходится.

3) Из ряда sum{n=1}{infty}{{2^n+n}/{5^n+3n}} выделим главную часть n-го члена: a_n={2^n+n}/{5^n+3n} при n→∞ ∼ {2n}/{5n}.
Заданный ряд и ряд sum{n=1}{infty}{b_n}=sum{n=1}{infty}{{2/5}^n} ведут себя одинаково, так как lim{n{right}infty}{{a_n}/{b_n}}=1.
Геометрический ряд sum{n=1}{infty}{{2/5}^n} сходится, значит, ряд sum{n=1}{infty}{{2^n+n}/{5^n+3n}} также сходится.

4) Из ряда sum{n=1}{infty}{{n+3}/{root{3}{n^5+3n+sqrt{n}}}} выделим главную часть n-го члена: a_n={n+3}/{root{3}{n^5+3n+sqrt{n}}} при n→∞ ∼ n/{n^{5/3}}=1/{n^{2/3}}.
Порядок p=2/3 < 1, поэтому ряд расходится.

5) Из ряда sum{n=1}{infty}{{1-cos{1/sqrt{n}}}/{3+2 root{3}{n^4}}} выделяем главную часть n-го члена ряда:
a_n={1-cos{1/sqrt{n}}}/{3+2 root{3}{n^4}} при n→∞ ∼ {1/{2n}}/{2n^{4/5}}=1/{4n^{9/5}}.
Порядок p=9/5 > 1, поэтому ряд сходится.

6) Из ряда sum{n=1}{infty}{{1+3n}/{2n^2+2ln{n}}} выделяем главную часть n-го члена ряда:
a_n={1+3n}/{2n^2+2ln{n}} при n→∞ ∼ {3n}/{n^2}=3/n.
Порядок p=1, поэтому ряд расходится.

Решение дифференциальных уравнений


Методы решения дифференциальных уравнений здесь.

Пример. Частное решение дифференциального уравнения (ДУ)

Дано: ДУ y′′ + y = 0.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Так как (sinx)′′ = −sinx, (cosx)′′ = −cosx, функция вида y={c_1}*sin{x}+{c_2}*cos{x}; будет удовлетворять уравнению.

Если c1 = 1, c2 = 3, то y_1=1*sin{x}+3*cos{x};

если c1 = 0, c2 = -2, то y_2=-2*cos{x}.

Пример. Решение ДУ с разделяющимися переменными.

Дано: ДУ y{prime}=y/x.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Данное в задаче уравнение удобно записать в виде: {dy}/{dx}=y/x.

Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента: x*dy=y*dx.

Умножим правую и левую часть уравнения на 1/{y*x}.

Получим: {dy}/{y}={dx}/{x}.

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу. Тогда общий интеграл этого ДУ имеет вид:
int{}{}{{dy}/y}=int{}{}{{dx}/x}, ln|y| = ln|x| + ln|c|, где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме.

Отсюда следует: ln|y| = ln|с×x|, |y| = |с×x|, x ≠ 0.

Пример. Решение однородного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ y{prime}={y/x}*(ln{y/x}+1).
Найти: решение ДУ.

Решение:
Правая часть уравнения есть функция только отношения y/x, значит ДУ однородное.

Принимаем: y/x=u,~y=u*x. Значит y{prime}=u{prime}*x+u.

Наше уравнение приобретает вид:

y{prime}=u{prime}*x+u=u*(ln{u}+1),~u{prime}x={u}*ln{u},~{du}/{{u}*ln{u}}={dx}/x,

ln|lnu| = ln|x| + ln|c|, lnu=c×x, отсюда u=e^{c*x}.

В итоге, получаем: y=x*e^{c*x}.

Пример. Решение линейного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ {dy}/{dx}-{2/{x+1}}*y=(x+1)^3, x ≠ −1.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Принимаем: y=u*v.

Получаем: {dy}/{dx}=u*{{dv}/{dx}}+{{du}/{dx}}*v,

u*{{dv}/{dx}}+{{du}/{dx}}*v-{2/{x+1}}*u*v=(x+1)^3,

u*({{dv}/{dx}}-{{du}/{dx}}-{2/{x+1}}*v)+v*{{du}/{dx}}=(x+1)^3.

Определяем v из ДУ:
{{dv}/{dx}}-{2/{x+1}}*v=0, {dv}/v={2*dx}/{x+1},
ln|v| = 2×ln|x+1|, отсюда v=(x+1)^2.

Находим u из ДУ:
(x+1)^2*{{du}/{dx}}=(x+1)^3,~{du}/{dx}=(x+1),~u={(x+1)^2}/2+c.

Запишем общее решение ДУ: y={(x+1)^4}/2+c*(x+1)^2.

Пример. Уравнение Бернулли.

Дано: ДУ {{dy}/{dx}}+x*y={x^3}*{y^3}.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Уравнение Бернулли — это ДУ вида {{dy}/{dx}}+P(x)*y=Q(x)*{y^n}, где P(x), Q(x) – непрерывные функции или постоянные.
При n = 0 оно линейное, при n = 1 с разделяющимися переменными.

В нашем случае P(x)=x,~Q(x)={x^3},~n=3.

Умножаем обе части, данного в условии задачи, уравнения на 1/{y^3}.

Получаем: y^{-3}*y{prime}+x*y^{-2}={x^3}.

Заменим: z=y^{-n+1}=y^{-2}.

Получим: {dz}/{dx}=-2*y^{-3}*{{dy}/{dx}},~{{dz}/{dx}}-2*x*z=-2*{x^3}.

Принимаем: z=u*v, {dz}/{dx}=u*{{dv}/{dx}}+v*{{du}/{dx}}, u*{{dv}/{dx}}+v*{{du}/{dx}}-2*x*u*v=-2*{x^3}, u*({{dv}/{dx}}-2*x*v)+v*{{du}/{dx}}=-2*{x^3}.

Получаем линейное ДУ для v: {{dv}/{dx}}-2*x*v=0,~{dv}/v=2*x*dx.
Отсюда ln|v| = x2, v=e^{x^2}.

Запишем уравнение для u:
{e^{x^2}}*{{du}/{dx}}=-2*{x^3},~du=-2*{e^{-x^2}}*{x^3}dx,

Тогда
u=-2{int{}{}{{e^{-x^2}}*{x^3}dx}}={x^2}*e^{-x^2}+e^{-x^2}+c,
z=u*v=x^2+1+c*e^{x^2},~y^{-2}=x^2+1+c*e^{x^2},~y=1/{sqrt{x^2+1+c*e^{x^2}}}

Сразу заменив y=u*v, можно было решить уравнение Бернулли как линейное.

Вычисление производных


Пример. Производная суммы функций.

Дано: сумма функций (ln{x}+sin{x}).
Найти:
Вычислить производную суммы функций (ln{x}+sin{x}){prime}

Решение:
Исходя из того, что производная алгебраической суммы (разности) функций, имеющих производную, равна такой же сумме (разности) производных этих функций: (u(x){pm}v(x)){prime}=u{prime}(x){pm}v{prime}(x), используя формулы производных (ссылка), вычислим производную, заданной в условии задачи суммы функций:

(ln{x}+sin{x}){prime}=(ln{x}){prime}x+(sin{x}){prime}={1/x}+cos{x}.

Ответ: производная суммы функций равна {1/x}+cos{x}.

Пример. Производная произведения функций.

Дано: произведение функций (ln{x}*tg{x}).
Найти:
Вычислить производную произведения функций (ln{x}*tg{x}){prime}

Решение:
Исходя из того, что производная двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: (u{x}*v{x}){prime}=u{prime}(x)*v(x)+u(x)v{prime}(x), найдем производную, заданного в условии задачи произведения функций:

(ln{x}*tg{x}){prime}=(ln{x}){prime}*tg{x}+ln{x}*(tg{x}){prime}={1/x}*tg{x}+ln{x}*{1/{cos^2x}}.

Ответ: производная произведения функций равна {1/x}*tg{x}+ln{x}*{1/{cos^2x}}.

Пример. Производная отношения функций.

Дано: отношение функций ({2^x}/{x^2}).
Найти:
Вычислить производную отношения функций ({2^x}/{x^2}){prime}

Решение:
Исходя из того, что производная отношения двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: ({u(x)}/{v(x)}){prime}={u{prime}(x)*v(x)-u(x)*v{prime}(x)}/{v^2(x)}, определим производную, заданного в условии задачи отношения функций:

({2^x}/{x^2}){prime}={2^x*ln{2}*x^2+2^x*2*x}/{x^4}.

Ответ: производная отношения функций равна {2^x*ln{2}*x^2+2^x*2*x}/{x^4}.

Пример. Производная сложной функций.

Дано: сложная функция y=e^{sin{x}}.
Найти:
Вычислить производную сложной функции (y=e^{sin{x}}){prime}

Решение:
Исходя из того, что функция u=varphi(x) имеет производную в точке x_0, а функция y=f(u) имеет производную в точке u_0, причем u_0=varphi(x_0), сложная функция y=f(varphi(u)) будет иметь производную в точке x_0 и {dy}/{dx}={{dy}/{du}}*{{du}/{dx}}, в нашем случае получаем следующее y=y(u)*e^u, а u=varphi(x)=sin{x}. Тогда {dy}/{dx}=e^u, а {du}/{dx}=cos{x}, значит

{dy}/{dx}={{dy}/{du}}*{{du}/{dx}}={e^u}*cos{x}=e^{sin{x}}*cos{x}.

Ответ: производная сложной функции равна e^{sin{x}}*cos{x}.

Пример. Производная функции заданной параметрически.

Дано: функция заданная параметрически delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x}{=}{k^3-2k~}{y}{=}{k^2+3k-1~}}}{}.
Найти:
Вычислить производную функции заданной параметрически.

Решение:
Исходя из того, что производная функции, заданной параметрически, то есть в виде соотношения delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x}{=}{x(k)~}{y}{=}{y(k)~}}}{}, где k изменяется в пределах некоторого множества, определяется по формуле {dy}/{dx}={{dy}/{dk}}/{{dx}/{dk}}, вычислим производную, заданной в задаче функции:

{dy}/{dx}={{dy}/{dk}}/{{dx}/{dk}}={2k+3}/{3k^2-2}.

Производная параметрически заданной функции будет тоже функция, заданная параметрически:

delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x}{=}{k^3-2k~}{{dy}/{dx}}{=}{{2k+3}/{3k^2-2}~}}}{}.

Ответ: производная параметрически заданной функции равна delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x}{=}{k^3-2k~}{{dy}/{dx}}{=}{{2k+3}/{3k^2-2}~}}}{}.