Методы вычисления интеграла


Формулы и уравнения неопределенных интегралов здесь.

Пример. Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Дано: интеграл int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Решение:
Метод непосредственного интегрирования: воспользовавшись свойством линейности
int{}{}{(alpha*f(x)+beta*g(x))dx}=alpha*int{}{}{f(x)dx}+beta*int{}{}{g(x)dx}
применяя тождественные преобразования подинтегрального выражения, исходный интеграл сводится к нескольким более простым, которые могут быть вычислены непосредственно по таблице интегралов.

Используя вышеприведенное, применив основное тригонометрическое тождество {sin}^2x+{cos}^2x=1, получим следующее:

int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+{sin}^2x+{cos}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=

{}=int{}{}{{4*{cos}^2x-{sin}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}.

Далее, разделив каждое слагаемое числителя подинтегрального выражения на знаменатель и воспользовавшись таблицой интегралов от элементарных функций (ссылка) получим следующее:

int{}{}{{4*{cos}^2x-{sin}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=int{}{}{(4/{{sin}^2x}-1/{{cos}^2x})dx}=

{}=4*int{}{}{{dx}/{{sin}^2x}}-int{}{}{{dx}/{{cos}^2x}}=-4*ctg{x}-tg{x}+C

Ответ: int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=-4*ctg{x}-tg{x}+C.

Пример. Метод интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Дано: интеграл int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

Решение:
Метод интегрирования по частям: подинтегральное выражение представляем в виде произведения некоторой функции u на дифференциал другой функции dv: int{}{}{udv}. Далее, используя формулу интегрирования по частям int{}{}{udv}=uv-int{}{}{vdu}, заменяем исходный интеграл другим int{}{}{vdu}, который, как правило, более простой для вычисления.

Применим вышесказанное к нашему интегралу. Считаем u=x, тогда

dv=(5*{sin}x-7*{cos}x)dx,~du-dx,

v=int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=5*int{}{}{{sin}xdx}-7*int{}{}{{cos}xdx}=

{}=-5*{cos}xdx-7*{sin}x.

Воспользовавшись вышеприведенной формулой, в итоге получим следующее:

int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=x*(-5*{cos}x-7*{sin}x)-

-int{}{}{(-5*{cos}x-7{sin}x)dx}=x*(-5*{cos}x-7*{sin}x)+

+5*int{}{}{{cos}xdx}+7*int{}{}{{sin}xdx}=-x*(5*{cos}x+7*{sin}x)+

+5*{sin}x-7*{cos}x+C.

Ответ: int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=
{}=-x*(5*{cos}x+7*{sin}x)+5*{sin}x-7*{cos}x+C.

Пример. Метод замены переменной неопределенного интеграла.

Дано: интеграл int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}.
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.

Решение:
Метод замены переменной: вместо исходной переменной x, вводится новая переменная k, связанная с x соотношением: k=omega(x), где omega(x) — дифференцируемая функция переменной x.

Применяем вышеприведенное к нашему интегралу, обозначаем через новую переменную интегрирования k выражение, стоящее в знаменателе подинтегральной функции k=sin2x+x^3, значит, dk=(2*cos2x+3*x^2)dx. Получаем преобразованный интеграл:

int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}=int{}{}{{dk}/{k^{1/2}}}.

Вычисляем полученный интеграл по переменной k и возвращаемся к старой переменной x, с учетом того, что k=sin2x+x^3:

int{}{}{{dk}/{k^{1/2}}}={k^{1/2}}/{1/2}+C=2*sqrt{k}+C=2*sqrt{sin2x+x^3}+C.

Ответ: int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}=2*sqrt{sin2x+x^3}+C.

Пример. Метод интегрирования по частям определенного интеграла.

Дано: интеграл int{0}{pi}{e^x{sin}xdx}.
Найти:
Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям.

Решение:
Принимаем
u=e^x,~dv=sin{x}dx,~du={e^x}dx,~v=-cos{x}.
Получаем
int{0}{pi}{e^x{sin}xdx}=-{e^x}cos{x}delim{|}{matrix{2}{1}{{0} {pi}}}{}+int{0}{pi}{e^x{cos}xdx}={}
{}=-e^{pi}cos{pi}+cos{0}+int{0}{pi}{e^x{cos}xdx}.
Воспользуемся опять методом интегрирования по частям предполагая, что
u=e^x,~dv=cos{x}dx,~du={e^x}dx,~v=sin{x}.
Получаем
int{0}{pi}{e^x{cos}xdx}=-{e^{pi}}+1+{e^x}sin{x}delim{|}{matrix{2}{1}{{0} {pi}}}{}-int{0}{pi}{e^x{sin}xdx}.
или
{2}int{0}{pi}{e^x{sin}xdx}=e^{pi}+1,
тогда
int{0}{pi}{e^x{sin}xdx}={1/2}(e^{pi}+1).

Ответ: int{0}{pi}{e^x{sin}xdx}={1/2}(e^{pi}+1).

Пример. Метод замены переменной определенного интеграла.

Дано: интеграл int{1}{4}{x/{sqrt{2+4x}}dx}.
Найти:
Вычислить определенный интеграл методом замены переменной.

Решение:
int{1}{4}{x/{sqrt{2+4x}}dx}=int{a}{b}{f(x)dx}=F(b)-F(a)={}
{}=F(varphi(beta))-F(varphi(alpha))=int{alpha}{beta}{f(varphi(t))varphi{prime}(t)dt}.
Пусть
2+4x=t^2,~x={t^2-2}/4,~dx={t/2}dt, при a=1,~b=4,~alpha=sqrt{6},~beta=sqrt{18}.
Тогда
int{1}{4}{x/{sqrt{2+4x}}dx}=int{sqrt{6}}{sqrt{18}}{{{t^2-2}/4}{{tdt}/{2t}}}={1/8}int{sqrt{6}}{sqrt{18}}{(t^2-2)dt}={}

{}={1/8}({t^3}/3-2t)delim{|}{matrix{2}{1}{{sqrt{18}~} {sqrt{6}~}}}{}={3sqrt{18}-sqrt{18}-sqrt{6}+sqrt{6}}/4={sqrt{18}}/2={3/2}sqrt{2}.

Ответ: int{1}{4}{x/{sqrt{2+4x}}dx}={3/2}sqrt{2}.

Пример. Вычисление площади круга.

Дано: радиус круга равен R.
Найти: площадь круга.

Решение:
Запишем уравнение окружности x^2+y^2=R^2.
Отсюда
y={pm}sqrt{R^2-x^2}, -RxR.
Тогда
S=int{-R}{R}{(sqrt{R^2-x^2}-({-}sqrt{R^2-x^2}))dx}={2}int{-R}{R}{sqrt{R^2-x^2}dx}.
Принимаем x={R}sin{t},~dx={R}cos{t}dt,~{alpha}=-{pi}/2,~{beta}={pi}/2.
Получаем
S={2}int{-{pi}/2}{{pi}/2}{{R^2}cos^2{t}dt}={R^2}int{-{pi}/2}{{pi}/2}{(1+cos{2t})dt}={}
{}={R^2t}delim{|}{matrix{2}{1}{{{pi}/2} {-{pi}/2}}}{}+{{R^2}/2}{sin{2t}}delim{|}{matrix{2}{1}{{{pi}/2} {-{pi}/2}}}{}=R^2{pi}.

Ответ: площадь круга S=R^2{pi}.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *