Определенный интеграл

  1. Формула Ньютона-Лейбница:
    int{a}{b}{f(x)dx}=F(x)delim{|}{matrix{2}{1}{b a}}{}=F(b)-F(a), где F{prime}(x)=f(x)
  2. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
    int{a}{b}{ud{nu}}=u*{nu}delim{|}{matrix{2}{1}{b a}}{}~-~int{a}{b}{{nu}du}
  3. Замена переменной в определенном интеграле:
    Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], где a=ϕ(α), b=ϕ(β), то
    int{a}{b}{f(x)dx}=int{alpha}{beta}{f(varphi(t)){varphi}{prime}(t)dt}
  4. Интегралы с бесконечными пределами:
    int{a}{+infty}{f(x)dx}=lim{B{right}+infty}{}int{a}{B}{f(x)dx}
  5. Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами (признаки сравнения):
    1. Если a≤x≤+∞, 0≤f(x)≤g(x), то из сходимости
    int{a}{+infty}{g(x)dx}doubleright сходимость int{a}{+infty}{f(x)dx},
    int{a}{+infty}{f(x)dx} ≤ int{a}{+infty}{g(x)dx};
    из расходимости int{a}{+infty}{f(x)dx}{doubleright} расходимость int{a}{+infty}{g(x)dx}.
    2. Если при a≤x≤+∞, f(x)>0, g(x)>0 и существует конечный предел lim{x{right}+infty}{{f(x)}/{g(x)}≠0, то интегралы int{a}{+infty}{f(x)dx},~int{a}{+infty}{g(x)dx} сходятся или расходятся одновременно.
    Эталоном сравнения служит интеграл: int{a}{+infty}{{dx}/{x^p}};
    он сходится при p>1 и расходится при p≤1.
  6. Интегралы от неограниченных функций:
    Если функция f(x) непрерывна при a≤x<b и
    lim{x{right}b-0}{f(x)}=infty, то
    int{a}{b}{f(x)dx}=lim{varepsilon{right}+0}{}int{a}{b-{varepsilon}}{f(x)dx}.
  7. Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций:
    Аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл int{a}{b}{{dx}/{(b-x)^p}}; он сходится при 0<p<1 и расходится при p>1.
    Приложения определенного интеграла

  1. Площадь плоской фигуры
    1.1. Фигура ограничена графиком функции y=f(x)(f(x)≥0), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
    S=int{a}{b}{f(x)dx}.
    1.2. Фигура ограничена графиками функций y=f1(x) и y=f2(x), f1(x)≤2f2(x), и прямыми x=a, x=b:
    S=int{a}{b}{(f_2(x)-f_1(x))dx}.
    1.3. Фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
    S=delim{|}int{t_1}{t_2}{y(t)x{prime}(t)dt}{|}, где f=x(t1), b=x(t2), y(t)≥0 на отрезке [t1; t2].
    1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции ρ=ρ(ϕ), лучами ϕ=α, ϕ=β, где ϕ и ρ — полярные координаты:
    S={1/2}int{alpha}{beta}{{rho}^2(varphi)d{varphi}}.
  2. Длина дуги кривой
    2.1. Гладкая кривая задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
    l=int{a}{b}{sqrt{1+(y{prime}(x))^2}dx}.
    2.2. Кривая задана параметрически, x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2:
    l=int{t_1}{t_2}{sqrt{(x{prime}(t))^2+(y{prime}(t))^2+(z{prime}(t))^2}dt} (для плоской кривой z(t)≡0).
    2.3. Кривая задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
    l=int{alpha}{beta}{sqrt{(rho(varphi))^2+(rho{prime}(varphi))^2}d{varphi}}.
  3. Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой
    3.1. Дуга задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
    Q_x=2{pi}int{a}{b}{delim{|}{f(x)}{|}sqrt{1+(f{prime}(x))^2}dx}.
    3.2. Дуга задана параметрически, x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2:
    Q_x=2{pi}int{t_1}{t_2}{delim{|}{y(t)}{|}sqrt{(x{prime}(t))^2+(y{prime}(t))^2}dt}.
    3.3. Дуга задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
    Q_x=2{pi}int{alpha}{beta}{delim{|}{rho(varphi)sin{varphi}}{|}sqrt{(rho{prime}(varphi))^2+(rho{prime}(varphi))^2}d{varphi}}.
  4. Объем тела
    4.1. Тело заключено между плоскостями x=a и x=b, площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox – известная функция S=f(x), непрерывная на отрезке [a; b], f(x)≥0:
    V=int{a}{b}{f(x)dx}.
    4.2. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), a≤x≤b вращается вокруг оси Ox:
    V_x={pi}int{a}{b}{(f(x))^2 dx}.
    4.3. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой x=g(y), c≤y≤d вращается вокруг оси Oy:
    V_y={pi}int{c}{d}{(g(y))^2 dy}.