- Формула Ньютона-Лейбница:
, где
- Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
- Замена переменной в определенном интеграле:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], где a=ϕ(α), b=ϕ(β), то
- Интегралы с бесконечными пределами:
- Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами (признаки сравнения):
1. Если a≤x≤+∞, 0≤f(x)≤g(x), то из сходимости
сходимость
≤
из расходимости расходимость
2. Если при a≤x≤+∞, f(x)>0, g(x)>0 и существует конечный предел ≠0, то интегралы сходятся или расходятся одновременно.
Эталоном сравнения служит интеграл:
он сходится при p>1 и расходится при p≤1.
- Интегралы от неограниченных функций:
Если функция f(x) непрерывна при a≤x<b и
, то
.
- Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций:
Аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл он сходится при 0<p<1 и расходится при p>1.
Приложения определенного интеграла
- Площадь плоской фигуры
1.1. Фигура ограничена графиком функции y=f(x)(f(x)≥0), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
.
1.2. Фигура ограничена графиками функций y=f1(x) и y=f2(x), f1(x)≤2f2(x), и прямыми x=a, x=b:
.
1.3. Фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
, где f=x(t1), b=x(t2), y(t)≥0 на отрезке [t1; t2].
1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции ρ=ρ(ϕ), лучами ϕ=α, ϕ=β, где ϕ и ρ — полярные координаты:
.
- Длина дуги кривой
2.1. Гладкая кривая задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
.
2.2. Кривая задана параметрически, x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2:
(для плоской кривой z(t)≡0).
2.3. Кривая задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
.
- Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой
3.1. Дуга задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
.
3.2. Дуга задана параметрически, x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2:
.
3.3. Дуга задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
.
- Объем тела
4.1. Тело заключено между плоскостями x=a и x=b, площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox – известная функция S=f(x), непрерывная на отрезке [a; b], f(x)≥0:
.
4.2. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), a≤x≤b вращается вокруг оси Ox:
.
4.3. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой x=g(y), c≤y≤d вращается вокруг оси Oy:
.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач