- Формула Ньютона-Лейбница:
, где ![F{prime}(x)=f(x) F{prime}(x)=f(x)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_989.5_b227aeb195828d586bd2bb235f043e00.png)
- Формула интегрирования по частям в определенном интеграле:
![int{a}{b}{ud{nu}}=u*{nu}delim{|}{matrix{2}{1}{b a}}{}~-~int{a}{b}{{nu}du} int{a}{b}{ud{nu}}=u*{nu}delim{|}{matrix{2}{1}{b a}}{}~-~int{a}{b}{{nu}du}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_973.5_147ec8a3413297949db5b816b4dab56d.png)
- Замена переменной в определенном интеграле:
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция x=ϕ(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [α;β], где a=ϕ(α), b=ϕ(β), то
![int{a}{b}{f(x)dx}=int{alpha}{beta}{f(varphi(t)){varphi}{prime}(t)dt} int{a}{b}{f(x)dx}=int{alpha}{beta}{f(varphi(t)){varphi}{prime}(t)dt}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_967.5_e94c17b11b89f4c00313f2a0beb88153.png)
- Интегралы с бесконечными пределами:
![int{a}{+infty}{f(x)dx}=lim{B{right}+infty}{}int{a}{B}{f(x)dx} int{a}{+infty}{f(x)dx}=lim{B{right}+infty}{}int{a}{B}{f(x)dx}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_970_6fca2407dc5c58ff8220566c42984e54.png)
- Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами (признаки сравнения):
1. Если a≤x≤+∞, 0≤f(x)≤g(x), то из сходимости
сходимость ![int{a}{+infty}{f(x)dx}, int{a}{+infty}{f(x)dx},](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_970_6188b049a674fd5c2f555711be310014.png)
≤ ![int{a}{+infty}{g(x)dx}; int{a}{+infty}{g(x)dx};](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_970_893c3de4fba5e97189bfc28dce4b53a4.png)
из расходимости
расходимость ![int{a}{+infty}{g(x)dx}. int{a}{+infty}{g(x)dx}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_970_fa135b74e47da0344222c01dcbb10385.png)
2. Если при a≤x≤+∞, f(x)>0, g(x)>0 и существует конечный предел
≠0, то интегралы
сходятся или расходятся одновременно.
Эталоном сравнения служит интеграл: ![int{a}{+infty}{{dx}/{x^p}}; int{a}{+infty}{{dx}/{x^p}};](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_962.5_7caa0aabe010bd2dd113ca454a0dd132.png)
он сходится при p>1 и расходится при p≤1.
- Интегралы от неограниченных функций:
Если функция f(x) непрерывна при a≤x<b и
, то
.
- Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций:
Аналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами. Эталоном сравнения служит интеграл
он сходится при 0<p<1 и расходится при p>1.
Приложения определенного интеграла
- Площадь плоской фигуры
1.1. Фигура ограничена графиком функции y=f(x)(f(x)≥0), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
.
1.2. Фигура ограничена графиками функций y=f1(x) и y=f2(x), f1(x)≤2f2(x), и прямыми x=a, x=b:
.
1.3. Фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox:
, где f=x(t1), b=x(t2), y(t)≥0 на отрезке [t1; t2].
1.4. Площадь криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции ρ=ρ(ϕ), лучами ϕ=α, ϕ=β, где ϕ и ρ — полярные координаты:
.
- Длина дуги кривой
2.1. Гладкая кривая задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
.
2.2. Кривая задана параметрически, x=x(t), y=y(t), z=z(t), t1≤t≤t2:
(для плоской кривой z(t)≡0).
2.3. Кривая задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
.
- Площадь поверхности вращения, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой
3.1. Дуга задана явно, y=f(x), a≤x≤b:
.
3.2. Дуга задана параметрически, x=x(t), y=y(t), t1≤t≤t2:
.
3.3. Дуга задана в полярных координатах, ρ=ρ(ϕ), α≤ϕ≤β:
.
- Объем тела
4.1. Тело заключено между плоскостями x=a и x=b, площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox – известная функция S=f(x), непрерывная на отрезке [a; b], f(x)≥0:
.
4.2. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой y=f(x), a≤x≤b вращается вокруг оси Ox:
.
4.3. Криволинейная трапеция, ограниченная кривой x=g(y), c≤y≤d вращается вокруг оси Oy:
.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач