- Cкалярное поле
u=u(x,y,z), где u(x,y,z) — скалярная функция, называемая функцией поля.
- Производная по направлению
Производная скалярного поля в точке u(x,y,z) P(x,y,z) по направлению вектора
(обозначение
):
![{{partial}u}/{{partial}l}={{partial}u}/{{partial}x}cos{alpha}+{{partial}u}/{{partial}y}cos{beta}+{{partial}u}/{{partial}z}cos{gamma}. {{partial}u}/{{partial}l}={{partial}u}/{{partial}x}cos{alpha}+{{partial}u}/{{partial}y}cos{beta}+{{partial}u}/{{partial}z}cos{gamma}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_979_09574a1b7417de968e5c2b3b157a508b.png)
определяет скорость изменения поля в направлении вектора
.
- Градиент скалярного поля
![grad~u={{partial}u}/{{partial}x}vec{i}+{{partial}u}/{{partial}y}vec{j}+{{partial}u}/{{partial}z}vec{k}. grad~u={{partial}u}/{{partial}x}vec{i}+{{partial}u}/{{partial}y}vec{j}+{{partial}u}/{{partial}z}vec{k}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_979_1b649fa2bcc873c72a6e534bbdc705e0.png)
- Оператор Гамильтона, или символический вектор «набла»
∇ = ![{partial}/{{partial}x}vec{i}+{partial}/{{partial}y}vec{j}+{partial}/{{partial}z}vec{k}=({partial}/{{partial}x};{partial}/{{partial}y};{partial}/{{partial}z}). {partial}/{{partial}x}vec{i}+{partial}/{{partial}y}vec{j}+{partial}/{{partial}z}vec{k}=({partial}/{{partial}x};{partial}/{{partial}y};{partial}/{{partial}z}).](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_976_d519c97dc49b184d9430ccaf839ac2ce.png)
- Выражение ∇u(x,y,z) вида понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию: grad u = ∇u.
- Правила действий с оператором «набла»
1. Если оператор ∇ действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
3. Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.
- Связь градиента и производной по направлению
= (∇u
)= |∇u|![*delim{|}{vec{l_0}}{|}*cos{varphi}=delim{|}{grad~u}{|}*cos{varphi}. *delim{|}{vec{l_0}}{|}*cos{varphi}=delim{|}{grad~u}{|}*cos{varphi}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_982.5_d4821f2ec33f88288d3ecd37398d4614.png)
- Свойства градиента
1. ∇(u + v) = ∇u + ∇v.
2. ∇(u ⋅ v) = (∇u)v + u(∇v).
3. ∇(c ⋅ u) = c∇u, c = const.
4. ∇f(u) = fu′ ⋅ ∇u — градиент сложной функции.
5. ∇f(u, v) = fu′ ⋅ ∇u + fv′ ⋅ ∇v.
- Векторное поле
где ![a_x=a_x(x,y,z),~a_y=a_y(x,y,z),~a_z=a_z(x,y,z). a_x=a_x(x,y,z),~a_y=a_y(x,y,z),~a_z=a_z(x,y,z).](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_984_38f3a6a3302508f358ad8d32ed478ccd.png)
- Векторные линии. Уравнения векторных линий
Векторная линия поля
— это кривая, в каждой точке которой вектор
направлен по касательной к этой кривой.
Уравнения векторных линий: ![{dx}/{a_x}={dy}/{a_y}={dz}/{a_z}. {dx}/{a_x}={dy}/{a_y}={dz}/{a_z}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_973_d25b6098acffce766fc25b34b7b5d0b4.png)
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач