Теория поля


Купить Apple iPhone SE 32GB, Space Grey в интернет-магазине OZON.ru с доставкой. Смартфон Apple по лучшей цене - Выбирайте!Купить Apple iPhone SE 32GB, Space Grey в интернет-магазине OZON.ru с доставкой. Смартфон Apple за 19 088, 50 руб. - Выбирайте!
  • Cкалярное поле
    u=u(x,y,z), где u(x,y,z) — скалярная функция, называемая функцией поля.
  • Производная по направлению
    Производная скалярного поля в точке u(x,y,z) P(x,y,z) по направлению вектора
    vec{l} (обозначение {{partial}u}/{{partial}l}):
    {{partial}u}/{{partial}l}={{partial}u}/{{partial}x}cos{alpha}+{{partial}u}/{{partial}y}cos{beta}+{{partial}u}/{{partial}z}cos{gamma}.
    {{partial}u}/{{partial}l} определяет скорость изменения поля в направлении вектора vec{l}.
  • Градиент скалярного поля
    grad~u={{partial}u}/{{partial}x}vec{i}+{{partial}u}/{{partial}y}vec{j}+{{partial}u}/{{partial}z}vec{k}.
  • Оператор Гамильтона, или символический вектор «набла»
    ∇ = {partial}/{{partial}x}vec{i}+{partial}/{{partial}y}vec{j}+{partial}/{{partial}z}vec{k}=({partial}/{{partial}x};{partial}/{{partial}y};{partial}/{{partial}z}).
  • Выражение ∇u(x,y,z) вида понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию: grad u = ∇u.
  • Правила действий с оператором «набла»
    1. Если оператор ∇ действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
    2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
    3. Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.
  • Связь градиента и производной по направлению
    {{partial}u}/{{partial}l} = (∇u*vec{l_0})= |∇u|*delim{|}{vec{l_0}}{|}*cos{varphi}=delim{|}{grad~u}{|}*cos{varphi}.
  • Свойства градиента
    1. ∇(u + v) = ∇u + ∇v.
    2. ∇(u ⋅ v) = (∇u)v + u(∇v).
    3. ∇(c ⋅ u) = cu, c = const.
    4. ∇f(u) = fu ⋅ ∇u — градиент сложной функции.
    5. ∇f(u, v) = fu ⋅ ∇u + fv ⋅ ∇v.
  • Векторное поле
    vec{a}={a_x}{vec{i}}+{a_y}{vec{j}}+{a_z}{vec{k}}, где a_x=a_x(x,y,z),~a_y=a_y(x,y,z),~a_z=a_z(x,y,z).
  • Векторные линии. Уравнения векторных линий
    Векторная линия поля vec{a}(P)=vec{a}(x, y, z) — это кривая, в каждой точке которой вектор vec{a}=delim{lbrace}{a_x; a_y; a_z}{rbrace} направлен по касательной к этой кривой.
    Уравнения векторных линий: {dx}/{a_x}={dy}/{a_y}={dz}/{a_z}.