Теория поля


  • Скалярное поле
    u=u(x,y,z), где u(x,y,z) — скалярная функция, называемая функцией поля.
  • Производная по направлению
    Производная скалярного поля в точке u(x,y,z) P(x,y,z) по направлению вектора
    vec{l} (обозначение {{partial}u}/{{partial}l}):
    {{partial}u}/{{partial}l}={{partial}u}/{{partial}x}cos{alpha}+{{partial}u}/{{partial}y}cos{beta}+{{partial}u}/{{partial}z}cos{gamma}.
    {{partial}u}/{{partial}l} определяет скорость изменения поля в направлении вектора vec{l}.
  • Градиент скалярного поля
    grad~u={{partial}u}/{{partial}x}vec{i}+{{partial}u}/{{partial}y}vec{j}+{{partial}u}/{{partial}z}vec{k}.
  • Оператор Гамильтона, или символический вектор «набла»
    ∇ = {partial}/{{partial}x}vec{i}+{partial}/{{partial}y}vec{j}+{partial}/{{partial}z}vec{k}=({partial}/{{partial}x};{partial}/{{partial}y};{partial}/{{partial}z}).
  • Выражение ∇u(x,y,z) вида понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию: grad u = ∇u.
  • Правила действий с оператором «набла»
    1. Если оператор ∇ действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
    2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
    3. Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.
  • Связь градиента и производной по направлению
    {{partial}u}/{{partial}l} = (∇u*vec{l_0})= |∇u|*delim{|}{vec{l_0}}{|}*cos{varphi}=delim{|}{grad~u}{|}*cos{varphi}.
  • Свойства градиента
    1. ∇(u + v) = ∇u + ∇v.
    2. ∇(u ⋅ v) = (∇u)v + u(∇v).
    3. ∇(c ⋅ u) = cu, c = const.
    4. ∇f(u) = fu ⋅ ∇u — градиент сложной функции.
    5. ∇f(u, v) = fu ⋅ ∇u + fv ⋅ ∇v.
  • Векторное поле
    vec{a}={a_x}{vec{i}}+{a_y}{vec{j}}+{a_z}{vec{k}}, где a_x=a_x(x,y,z),~a_y=a_y(x,y,z),~a_z=a_z(x,y,z).
  • Векторные линии. Уравнения векторных линий
    Векторная линия поля vec{a}(P)=vec{a}(x, y, z) — это кривая, в каждой точке которой вектор vec{a}=delim{lbrace}{a_x; a_y; a_z}{rbrace} направлен по касательной к этой кривой.
    Уравнения векторных линий: {dx}/{a_x}={dy}/{a_y}={dz}/{a_z}.
    Поверхностный интеграл 1-го рода doubleint{Sigma}{}{f(x,y,z)d{sigma}}

  • x=x(y,z)
    doubleint{Sigma}{}{f(x,y,z)d{sigma}}=doubleint{D_{yz}}{}{f(x(y,z),y,z)*sqrt{1+({x{prime}}_y)^2+({x{prime}}_z)^2}dS_{yz}}
  • y=y(x,z)
    doubleint{Sigma}{}{f(x,y,z)d{sigma}}=doubleint{D_{xz}}{}{f(x,y(x,z),z)*sqrt{1+({y{prime}}_x)^2+({y{prime}}_z)^2}dS_{xz}}
  • z=z(x,y)
    doubleint{Sigma}{}{f(x,y,z)d{sigma}}=doubleint{D_{xy}}{}{f(x,y,z(x,y))*sqrt{1+({z{prime}}_x)^2+({z{prime}}_y)^2}dS_{xy}}
  • D_{xy},~D_{xz},~D_{yz} — проекции Σ на плоскости Oxy,~Oxz,~Oyz.
    Поверхностный интеграл 2-го рода doubleint{Sigma}{}{(vec{a}(x,y,z)*vec{n_0})d{sigma}}

  • doubleint{Sigma}{}{(vec{a}(x,y,z)*vec{n_0})d{sigma}}={}
    {}=doubleint{Sigma}{}{(a_x(x,y,z)cos{alpha}+a_y(x,y,z)cos{beta}+a_z(x,y,z)cos{gamma})d{sigma}}={}
    {}=doubleint{Sigma}{}{(a_x(x,y,z)dydz+a_y(x,y,z)dxdz+a_z(x,y,z))dxdy}.
    Вариант записи vec{d{sigma}}=vec{n_0}*d{sigma},~I=doubleint{Sigma}{}{(vec{a}(x,y,z)d{sigma})}.
    Поток векторного поля

  • Поток вектора vec{a} через поверхность Σ – поверхностный интеграл 2-го рода от вектора vec{a} по поверхности Σ.
    Способы вычисления потока

  • (vec{a}*d{vec{sigma}})=(vec{a}*vec{n_0})d{sigma},
    doubleint{Sigma}{}{(vec{a}*d{vec{sigma}})}=doubleint{Sigma}{}{(vec{a}*vec{n_0})d{sigma}}=doubleint{Sigma}{}{(Pr_{vec{n_0}}vec{a})d{sigma}}.
    Проектирование на одну координатную плоскость

  • Поверхность Σ задана уравнением z = f(x, y) и однозначно проектируется в область Dxy на координатной плоскости Oxy,
    Pi=doubleint{Sigma}{}{(vec{a}*vec{n_0})d{sigma}}=doubleint{D}{}{(vec{a}*vec{n_0}){dxdy}/{delim{|}{cos{gamma}}{|}}}={}
    {}=doubleint{D}{}{(vec{a}*vec{n_0})sqrt{({f{prime}}_x)^2+({f{prime}}_y)^2+1}dxdy}={}
    {}={pm}doubleint{D_{xy}}{}{(a_x(x,y,f(x,y))*{f{prime}}_x+a_y(x,y,f(x,y))*{f{prime}}_y-a_z(x,y,f(x,y)))dxdy}.
    Аналогичные формулы получаются при проектировании на другие координатные плоскости для поверхностей вида x = f(y, z) и y = f(x, z).
    Проектирование на три координатные плоскости

  • Поверхность Σ задана неявно уравнением F(x, y, z) = 0.
    vec{n_0}={pm}{vec{n}}/{delim{|}{vec{n}}{|}}={}
    {}={pm}delim{lbrace}{{F_x}/{sqrt{({F{prime}}_x)^2+({F{prime}}_y)^2+({F{prime}}_z)^2}};~{F_y}/{sqrt{({F{prime}}_x)^2+({F{prime}}_y)^2+({F{prime}}_z)^2}};~{F_z}/{sqrt{({F{prime}}_x)^2+({F{prime}}_y)^2+({F{prime}}_z)^2}}}{rbrace}.
    vec{n_0}=delim{lbrace}{cos{alpha},cos{beta},cos{gamma}}{rbrace}.
    vec{a}=delim{lbrace}{a_x,a_y,a_z}{rbrace}, (vec{a}*vec{n_0})={a_x}cos{alpha}+{a_y}cos{beta}+{a_z}cos{gamma},
    doubleint{Sigma}{}{(vec{a}*vec{n_0})d{sigma}}=doubleint{Sigma}{}{{a_x}cos{alpha}d{sigma}}+doubleint{Sigma}{}{{a_y}cos{beta}d{sigma}}+doubleint{Sigma}{}{{a_z}cos{gamma}}.
    doubleint{Sigma}{}{(vec{a}*d{sigma})}={pm}doubleint{D_{yz}}{}{{a_x}(x(y,z),y,z)dydz}{pm}
    {pm}doubleint{D_{xz}}{}{{a_y}(x,y(x,z),z)dxdz}{pm}doubleint{D_{xy}}{}{{a_z}(x,y,z(x,y))dxdy}.
    Знаки перед слагаемыми соответствуют знакам направляющих косинусов нормали cos{alpha},cos{beta},cos{gamma}.

Дивергенция векторного поля
div{vec{a}}={{partial}a_x(x,y,z)}/{{partial}x}+{{partial}a_y(x,y,z)}/{{partial}y}+{{partial}a_z(x,y,z)}/{{partial}z}
или
div{vec{a}}={{partial}a_x}/{{partial}x}+{{partial}a_y}/{{partial}y}+{{partial}a_z}/{{partial}z}, div{vec{a}}=∇{}*vec{a}.

    Свойства дивергенции

  1. div({lambda}{vec{a}}+{mu}{vec{b}})={lambda}div{vec{a}}+{mu}div{vec{b}}.
  2. div(u*{vec{a}})={u}div{vec{a}}+({vec{a}}*grad{u}).

Теорема Остроградского-Гаусса
Поток векторного поля vec{a} через внешнюю сторону замкнутой поверхности Σ равен тройному интегралу от функции {{partial}a_x}/{{partial}x}+{{partial}a_y}/{{partial}y}+{{partial}a_z}/{{partial}z}
по области G, ограниченной поверхностью Σ:
{Pi}=tripleint{G}{}{div{vec{a}}~dxdydz}=tripleint{V}{}{({{partial}a_x}/{{partial}x}+{{partial}a_y}/{{partial}y}+{{partial}a_z}/{{partial}z})dxdydz}.

Соленоидальное поле
Векторное поле vec{a}=vec{a}(P) называется соленоидальным, если div(vec{a})=0.

    Свойства соленоидального поля

  1. Соленоидальные поля не имеют источников и стоков.
  2. Поток vec{a} через любую замкнутую поверхность равен нулю:
    {Pi}=tripleint{G}{}{div{vec{a}}~dV}=0.
  3. В соленоидальном поле векторные линии не могут начинаться или кончаться во внутренней точке поля, они либо замкнуты, либо имеют концы на границе поля.
  4. Поток векторного поля через поперечное сечение векторной трубки в соленоидальном поле остаётся постоянным вдоль всей трубки.

Линейный интеграл в векторном поле
int{{{union}AB}}{}{vec{a}*d{vec{r}}}=int{{{union}AB}}{}{{a_x}dx+{a_y}dy+{a_z}dz}={}
{}=int{{{union}AB}}{}{{a_x(x,y,z)}dx+{a_y(x,y,z)}dy+{a_z(x,y,z)}dz}.

    Свойства линейного интеграла

  1. int{{{union}AB}}{}{(({lambda}{vec{a}}+{mu}{vec{b}})*d{vec{r}})}={lambda}int{{{union}AB}}{}{(vec{a}*d{vec{r}})}+{mu}int{{{union}AB}}{}{(vec{b}*d{vec{r}})}.
  2. int{{{union}AB}}{}{vec{a}*d{vec{r}}}=int{{{union}AC}}{}{vec{a}*d{vec{r}}}+int{{{union}CB}}{}{vec{a}*d{vec{r}}}.
  3. int{{{union}AB}}{}{vec{a}*d{vec{r}}}={-}int{{{union}BA}}{}{vec{a}*d{vec{r}}}

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией векторного поля по замкнутому контуру: C=oint{L}{}{vec{a}*d{vec{r}}}.

Вычисление линейного интеграла
Пусть ∪ ABL и кривая L задана параметрическими уравнениями:
L:delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x} {=} {x(t)~} {y} {=} {y(t)~} {z} {=} {z(t)~}}}{},
при t=t_0 имеем точку
A:delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_0} {=} {x(t_0)~} {y_0} {=} {y(t_0)~} {z_0} {=} {z(t_0)~}}}{},
при t=t_1 имеем точку
B:delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x_1} {=} {x(t_1)~} {y_1} {=} {y(t_1)~} {z_1} {=} {z(t_1)~}}}{},
тогда
int{{{union}AB}}{}{vec{a}*d{vec{r}}}=int{{{union}AC}}{}{a_x(x,y,z)dx+a_y(x,y,z)dy+a_z(x,y,z)dz}={}
{}=int{t_0}{t_1}{delim{lbrace}{a_x(x(t),y(t),z(t)){x}over{.}+a_y(x(t),y(t),z(t)){y}over{.}+a_z(x(t),y(t),z(t)){z}over{.}}{rbrace}}dt, где обозначения {x}over{.},{y}over{.},{z}over{.} означают дифференцирование по переменной t.

Ротор (вихрь) векторного поля
rot{vec{a}}=vec{i}({{partial}a_z}/{{partial}y}-{{partial}a_y}/{{partial}z})+vec{j}({{partial}a_x}/{{partial}z}-{{partial}a_z}/{{partial}x})+vec{k}({{partial}a_y}/{{partial}x}-{{partial}a_x}/{{partial}y}).
В виде символического определителя rot{vec{a}}=delim{|}{matrix{3}{3}{{vec{i}} {vec{j}} {vec{k}} {{partial}/{{partial}x}} {{partial}/{{partial}y}} {{partial}/{{partial}z}} {a_x} {a_y} {a_z}}}{|}

Теорема Стокса
oint{L}{}{(vec{a}*d{vec{r}})}=doubleint{Sigma}{}{(rot{vec{a}}*d{vec{sigma}})}, поток вектора rot{vec{a}} через ориентированную поверхность Σ равен циркуляции поля vec{a} по границе поверхности L, ориентированной в соответствии с ориентацией Σ.

Условия Стокса
Для того чтобы циркуляция вектора равнялась нулю, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
rot{vec{a}}=0, иначе {{partial}a_z}/{{partial}y}={{partial}a_y}/{{partial}z};~{{partial}a_x}/{{partial}z}={{partial}a_z}/{{partial}x};~{{partial}a_y}/{{partial}x}={{partial}a_x}/{{partial}y}.

Потенциальное векторное поле
Векторное поле vec{a} называется потенциальным, если оно является градиентом некоторого скалярного поля (функции) u=u(P), т.е. vec{a}=grad(u).

    Свойства потенциального поля

  1. Циркуляция векторного поля по любому замкнутому контуру, лежащему в области непрерывности потенциального поля, равна нулю.
    По теореме Стокса
    oint{L}{}{(vec{a}*d{vec{r}})}=doubleint{Sigma}{}{(rot{vec{a}}*d{vec{sigma}})}=0
  2. Линейный интеграл в потенциальном поле не зависит от пути интегрирования и равен разности потенциалов поля в конечной и начальной точках интегрирования.

Условия потенциальности поля
Для того чтобы векторное поле vec{a}=vec{a}(P) в некоторой односвязной области G было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. rot{vec{a}}=0.