Неопределенный интеграл

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F'(x)=f(x).
Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx.

    Свойства неопределенного интеграла

  • dF(x)=f(x)dx;
  • int{}{}{dF(x)}=F(x)+C;
  • int{}{}{delim{[}{Cf(x)}{]}dx}={C}int{}{}{f(x)dx}, где C – постоянная;
  • int{}{}{delim{[}{f(x){pm}g(x)}{]}dx}=int{}{}{f(x)dx}{pm}int{}{}{g(x)dx}.
Таблица неопределенных интегралов
int{}{}{f(x)dx}=F(x)+C
int{}{}{0dx} C
int{}{}{dx} x+C
int{}{}{x^{alpha}dx}, α ≠ −1 {{x^{alpha+1}}/{alpha+1}}+C
int{}{}{{dx}/x} ln{delim{|}{x}{|}}+C
int{}{}{{alpha}^{x}dx} {{alpha}^{x}}/{ln{alpha}}+C
int{}{}{{e}^{x}dx}, α > 0, a ≠ 1 e^x+C
int{}{}{sin{x}dx} -cos{x}+C
int{}{}{cos{x}dx} sin{x}+C
int{}{}{{dx}/{cos^2{x}}} tg{x}+C
int{}{}{{dx}/{sin^2{x}}} -ctg{x}+C
int{}{}{{dx}/{a^2+x^2}} {1/a}arctg{x/a}+C
int{}{}{{dx}/{a^2-x^2}} {1/{2a}}ln{delim{|}{{x+a}/{x-a}}{|}}+C
int{}{}{{dx}/{sqrt{a^2-x^2}}} arcsin{x/a}+C
int{}{}{{dx}/{sqrt{x^2-a^2}}} ln{delim{|}{x+sqrt{x^2-a^2}}{|}}+C
int{}{}{{dx}/{sqrt{a^2+x^2}}} ln{delim{|}{x+sqrt{x^2+a^2}}{|}}+C
int{}{}{{dx}/{sin{x}}} ln{delim{|}{tg{x/2}}{|}}+C
int{}{}{{dx}/{cos{x}}} ln{delim{|}{tg{x/2+{pi}/4}}{|}}+C
int{}{}{sh{x}dx} ch{x}+C
int{}{}{ch{x}dx} sh{x}+C
int{}{}{{dx}/{ch^2{x}}} th{x}+C
int{}{}{{dx}/{sh^2{x}}} -cth{x}+C
int{}{}{sqrt{a^2-x^2}dx} {x/2}sqrt{a^2-x^2}{{a^2}/2}arcsin{x/a}+C
int{}{}{sqrt{a^2+x^2}dx} {x/2}sqrt{a^2+x^2}{{a^2}/2}ln{delim{|}{x+sqrt{a^2+x^2}}{|}}+C
int{}{}{sqrt{x^2-a^2}dx} {x/2}sqrt{x^2-a^2}{{a^2}/2}ln{delim{|}{x+sqrt{x^2-a^2}}{|}}+C
int{}{}{ln{x}dx} x(ln{x}-1)+C
int{}{}{arcsin{x}dx} {x}arcsin{x}+sqrt{1-x^2}+C
int{}{}{arccos{x}dx} {x}arccos{x}-sqrt{1-x^2}+C
int{}{}{arctg{x}dx} {x}arctg{x}-{1/2}ln(1+x^2)+C
int{}{}{arcctg{x}dx} {x}arcctg{x}+{1/2}ln(1+x^2)+C
int{}{}{1/{(x^2+a^2)^2}dx} {1/{2a^2}}{x/{x^2+a^2}}+{1/{2a^3}}arctg{x/a}+C
int{}{}{e^{ax}sin{bx}dx} {{{a}sin{bx}-{b}cos{bx}}/{a^2+b^2}}e^{ax}+C
int{}{}{e^{ax}cos{bx}dx} {{{b}sin{bx}+{a}cos{bx}}/{a^2+b^2}}e^{ax}+C

Замена переменной в неопределенном интеграле (подстановка, подведение под знак дифференциала)
Если int{}{}{f(u)du}=F(u)+C,~u={varphi}(x), то int{}{}{{f}delim{[}{{varphi}(x)}{]}{varphi}{prime}(x)dx}=F({varphi}(x))+C.

Формула интегрирования по частям:
int{}{}{u*d{nu}}=u*{nu}-int{}{}{{nu}*du}

    Основные типы интегралов, вычисляемые с помощью интегрирования по частям

  1. int{}{}{{x^k}e^{ax}dx}; u=x^k
  2. int{}{}{{x^k}sin{ax}dx}; u=x^k
  3. int{}{}{{x^k}cos{ax}dx}; u=x^k
  4. int{}{}{{x^k}ln{x}dx}; u=ln{x}
  5. int{}{}{{x^k}arcsin{x}dx}; u=arcsin{x}
  6. int{}{}{{x^k}arccos{x}dx}; u=arccos{x}
  7. int{}{}{{x^k}arctg{x}dx}; u=arctg{x}
  8. int{}{}{{x^k}arcctg{x}dx}; u=arcctg{x}
    Интегрирование рациональных дробей

  • Разложение рациональной дроби на простейшие:
    {R(x)}/{P_n(x)}={{A_1}/{x-x_1}}+{{A_2}/{(x-x_1)^2}}+{cdots}+{{A_{k_1}}/{(x-x_1)^{k_1}}}+{cdots}+
    {}+{{B_1}/{x-x_2}}+{{B_2}/{(x-x_2)^2}}+{cdots}+{{B_{k_2}}/{(x-x_2)^{k_2}}}+{cdots}+
    {}+{{C_1}/{x-x_m}}+{{C_2}/{(x-x_m)^2}}+{cdots}+{{C_{k_m}}/{(x-x_m)^{k_m}}}+{cdots}+
    {}+{{{M_1}x+N_1}/{{x^2}+{p_1}x+q_1}}+{{{M_2}x+N_2}/{({x^2}+{p_1}x+q_1})^2}+{cdots}+{{{M_{k_{m+1}}}x+N_{k_{m+1}}}/{({x^2}+{p_1}x+q_1})^{k_{m+1}}}+{cdots}+
    {}+{{{P_1}x+Q_1}/{{x^2}+{p_n}x+q_n}}+{{{P_2}x+Q_2}/{({x^2}+{p_n}x+q_n})^2}+{cdots}+{{{M_{k_n}}x+N_{k_n}}/{({x^2}+{p_1}x+q_n})^{k_n}}.
  • Тип дроби 1.
    Простейшая дробь: A/{x-a}.
  • Тип дроби 2.
    Простейшая дробь: A/{(x-a)^k},~k~{in}~N.
  • Тип дроби 3.
    Простейшая дробь: {Ax+B}/{{x^2}+px+q},~{p^2}/4-q < 0.
  • Тип дроби 4.
    Простейшая дробь: {Ax+B}/{({x^2}+px+q)^k},~{p^2}/4-q < 0, k ∈ N.