Неопределенный интеграл


Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если F(x) дифференцируема на (a, b) и F'(x)=f(x).
Совокупность всех первообразных для функции f(x) на интервале (a, b) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается ∫f(x)dx.

    Свойства неопределенного интеграла

  • dF(x)=f(x)dx;
  • int{}{}{dF(x)}=F(x)+C;
  • int{}{}{delim{[}{Cf(x)}{]}dx}={C}int{}{}{f(x)dx}, где C – постоянная;
  • int{}{}{delim{[}{f(x){pm}g(x)}{]}dx}=int{}{}{f(x)dx}{pm}int{}{}{g(x)dx}.
Таблица неопределенных интегралов
int{}{}{f(x)dx}=F(x)+C
int{}{}{0dx} C
int{}{}{dx} x+C
int{}{}{x^{alpha}dx}, α ≠ −1 {{x^{alpha+1}}/{alpha+1}}+C
int{}{}{{dx}/x} ln{delim{|}{x}{|}}+C
int{}{}{{alpha}^{x}dx} {{alpha}^{x}}/{ln{alpha}}+C
int{}{}{{e}^{x}dx}, α > 0, a ≠ 1 e^x+C
int{}{}{sin{x}dx} -cos{x}+C
int{}{}{cos{x}dx} sin{x}+C
int{}{}{{dx}/{cos^2{x}}} tg{x}+C
int{}{}{{dx}/{sin^2{x}}} -ctg{x}+C
int{}{}{{dx}/{a^2+x^2}} {1/a}arctg{x/a}+C
int{}{}{{dx}/{a^2-x^2}} {1/{2a}}ln{delim{|}{{x+a}/{x-a}}{|}}+C
int{}{}{{dx}/{sqrt{a^2-x^2}}} arcsin{x/a}+C
int{}{}{{dx}/{sqrt{x^2-a^2}}} ln{delim{|}{x+sqrt{x^2-a^2}}{|}}+C
int{}{}{{dx}/{sqrt{a^2+x^2}}} ln{delim{|}{x+sqrt{x^2+a^2}}{|}}+C
int{}{}{{dx}/{sin{x}}} ln{delim{|}{tg{x/2}}{|}}+C
int{}{}{{dx}/{cos{x}}} ln{delim{|}{tg{x/2+{pi}/4}}{|}}+C
int{}{}{sh{x}dx} ch{x}+C
int{}{}{ch{x}dx} sh{x}+C
int{}{}{{dx}/{ch^2{x}}} th{x}+C
int{}{}{{dx}/{sh^2{x}}} -cth{x}+C
int{}{}{sqrt{a^2-x^2}dx} {x/2}sqrt{a^2-x^2}{{a^2}/2}arcsin{x/a}+C
int{}{}{sqrt{a^2+x^2}dx} {x/2}sqrt{a^2+x^2}{{a^2}/2}ln{delim{|}{x+sqrt{a^2+x^2}}{|}}+C
int{}{}{sqrt{x^2-a^2}dx} {x/2}sqrt{x^2-a^2}{{a^2}/2}ln{delim{|}{x+sqrt{x^2-a^2}}{|}}+C
int{}{}{ln{x}dx} x(ln{x}-1)+C
int{}{}{arcsin{x}dx} {x}arcsin{x}+sqrt{1-x^2}+C
int{}{}{arccos{x}dx} {x}arccos{x}-sqrt{1-x^2}+C
int{}{}{arctg{x}dx} {x}arctg{x}-{1/2}ln(1+x^2)+C
int{}{}{arcctg{x}dx} {x}arcctg{x}+{1/2}ln(1+x^2)+C
int{}{}{1/{(x^2+a^2)^2}dx} {1/{2a^2}}{x/{x^2+a^2}}+{1/{2a^3}}arctg{x/a}+C
int{}{}{e^{ax}sin{bx}dx} {{{a}sin{bx}-{b}cos{bx}}/{a^2+b^2}}e^{ax}+C
int{}{}{e^{ax}cos{bx}dx} {{{b}sin{bx}+{a}cos{bx}}/{a^2+b^2}}e^{ax}+C

Замена переменной в неопределенном интеграле (подстановка, подведение под знак дифференциала)
Если int{}{}{f(u)du}=F(u)+C,~u={varphi}(x), то int{}{}{{f}delim{[}{{varphi}(x)}{]}{varphi}{prime}(x)dx}=F({varphi}(x))+C.

Формула интегрирования по частям:
int{}{}{u*d{nu}}=u*{nu}-int{}{}{{nu}*du}

    Основные типы интегралов, вычисляемые с помощью интегрирования по частям

  1. int{}{}{{x^k}e^{ax}dx}; u=x^k
  2. int{}{}{{x^k}sin{ax}dx}; u=x^k
  3. int{}{}{{x^k}cos{ax}dx}; u=x^k
  4. int{}{}{{x^k}ln{x}dx}; u=ln{x}
  5. int{}{}{{x^k}arcsin{x}dx}; u=arcsin{x}
  6. int{}{}{{x^k}arccos{x}dx}; u=arccos{x}
  7. int{}{}{{x^k}arctg{x}dx}; u=arctg{x}
  8. int{}{}{{x^k}arcctg{x}dx}; u=arcctg{x}
    Интегрирование рациональных дробей

  • Разложение рациональной дроби на простейшие:
    {R(x)}/{P_n(x)}={{A_1}/{x-x_1}}+{{A_2}/{(x-x_1)^2}}+{cdots}+{{A_{k_1}}/{(x-x_1)^{k_1}}}+{cdots}+
    {}+{{B_1}/{x-x_2}}+{{B_2}/{(x-x_2)^2}}+{cdots}+{{B_{k_2}}/{(x-x_2)^{k_2}}}+{cdots}+
    {}+{{C_1}/{x-x_m}}+{{C_2}/{(x-x_m)^2}}+{cdots}+{{C_{k_m}}/{(x-x_m)^{k_m}}}+{cdots}+
    {}+{{{M_1}x+N_1}/{{x^2}+{p_1}x+q_1}}+{{{M_2}x+N_2}/{({x^2}+{p_1}x+q_1})^2}+{cdots}+{{{M_{k_{m+1}}}x+N_{k_{m+1}}}/{({x^2}+{p_1}x+q_1})^{k_{m+1}}}+{cdots}+
    {}+{{{P_1}x+Q_1}/{{x^2}+{p_n}x+q_n}}+{{{P_2}x+Q_2}/{({x^2}+{p_n}x+q_n})^2}+{cdots}+{{{M_{k_n}}x+N_{k_n}}/{({x^2}+{p_1}x+q_n})^{k_n}}.
  • Тип дроби 1.
    Простейшая дробь: A/{x-a}.
  • Тип дроби 2.
    Простейшая дробь: A/{(x-a)^k},~k~{in}~N.
  • Тип дроби 3.
    Простейшая дробь: {Ax+B}/{{x^2}+px+q},~{p^2}/4-q < 0.
  • Тип дроби 4.
    Простейшая дробь: {Ax+B}/{({x^2}+px+q)^k},~{p^2}/4-q < 0, kN.
    Интегрирование простейших дробей

  1. int{}{}{{Adx}/{x-a}}=A*ln{delim{|}{x-a}{|}}+C
  2. int{}{}{{Adx}/{(x-a)^n}}={A/{1-n}}*{{1/{(x-a)^{n-a}}}}+C.
  3. int{}{}{{{Ax+B}/{x^2+px+q}}dx}={A/2}int{}{}{{{2x+p}/{x^2+px+q}}dx}+int{}{}{{{B-{Ap}/2}/{x^2+px+q}}dx};
    {A/2}int{}{}{{{2x+p}/{x^2+px+q}}dx}={A/2}ln{delim{|}{u}{|}}+C={A/2}ln{delim{|}{x^2+px+q}{|}}+C,
    int{}{}{{{B-{Ap}/2}/{x^2+px+q}}dx}={{B-{{Ap}/2}}/{sqrt{q-{{p^2}/4}}}}arctg{{x+{p/2}}/{sqrt{q-{{p^2}/4}}}}+C.
  4. int{}{}{{{Ax+B}/{(x^2+px+q)^k}}dx}={A/2}int{}{}{{{2x+p}/{(x^2+px+q)^k}}dx}+int{}{}{{{B-{Ap}/2}/{(x^2+px+q)^k}}dx};
    {A/2}int{}{}{{{2x+p}/{(x^2+px+q)^k}}dx}={A/2}int{}{}{{{du}/{u^k}}}={A/2}*{1/{(k-1)*(x^2+px+q)^{k-1}}}+C,
    int{}{}{{{B-{Ap}/2}/{(x^2+px+q)^k}}dx}=(B-{{Ap}/2})int{}{}{{dx}/{(x^2+px+q)^k}}=delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{t} {=} {x+{p/2},~} {a} {=} {sqrt{q-{{p^2}/4}~}}}}{rbrace}=(B-{{Ap}/2})*I_k, где I_k=int{}{}{{dt}/{(t^2+a^2)^k}} вычисляется по рекуррентной формуле:
    I_{k+1}={t/{2ka^2(t^2+a^2)^k}}+{{2k-1}/{2ka^2}}*I_k.
    По I_1=int{}{}{{dt}/{(t^2+a^2)}}={1/a}arctg{t/a}+C, находится I2, по I2, – I3 и т.д.
    Общая схема интегрирования рациональной дроби

  1. Если дробь неправильная, выделим в ней целую часть и правильную рациональную дробь.
  2. Найдем корни знаменателя правильной дроби, разложим знаменатель на множители.
  3. В зависимости от корней знаменателя запишем вид разложения правильной дроби на простейшие дроби.
  4. Найдем коэффициенты разложения.
  5. Вычислим интегралы от каждого слагаемого.
    Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции

  • Интегралы вида int{}{}{R(sin{x},cos{x})dx}, где R(u,ν) – рациональная функция двух переменных, вычисляются с помощью универсальной тригонометрической подстановки t=tg{x/2}.
    При этом t=tg{x/2},~x=2arctg{t},~dx={2dt}/{1+t^2},~sin{x}={2t}/{1+t^2},~cos{x}={1-t^2}/{1+t^2}.
  • Интегралы вида int{}{}{sin^{m}{x}cos^{n}{x}dx}, где хотя бы одно из чисел m или n – нечетное целое положительное число.
    Отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формул: cos^2{x}={1+cos2x}/2,~sin^2{x}={1-cos2x}/2,~sin{x}cos{x}={sin2x}/2, оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.
  • Интегралы вида int{}{}{sin^{m}{x}cos^{n}{x}dx}, где m и n – четные неотрицательные числа, m=2k,~n=2l,~k,l~{in}~N.
    Такие интегралы вычисляются по формулам понижения степени:
    cos^2{x}={1+cos2x}/2,~sin^2{x}={1-cos2x}/2,~sin{x}cos{x}={sin2x}/2.
  • Интегралы вида int{}{}{sin^{m}{x}cos^{n}{x}dx}, где m+n=-2k,~k~in~N, т.е. m + n является четным отрицательным числом.
    t=tg{x},~dt={dx}/{cos^2x},~x=arctg{t}
    или
    t=ctg{x},~dt=-{dx}/{sin^2x},~x=arcctg{t}
    с дальнейшим применением формул
    1+tg^2x=1/{cos^2x},~1+ctg^2x=1/{sin^2x}.
  • Интегралы вида int{}{}{cos{alpha}{x}cos{beta}{x}dx}, int{}{}{sin{alpha}{x}sin{beta}{x}dx}, int{}{}{sin{alpha}{x}cos{beta}{x}dx}.
    Вычисляются с использованием тригонометрических формул:
    cos{alpha}cos{beta}={1/2}delim{[}{cos({alpha}-{beta})+cos({alpha}+{beta})}{]};
    sin{alpha}sin{beta}={1/2}delim{[}{cos({alpha}-{beta})-cos({alpha}+{beta})}{]};
    sin{alpha}cos{beta}={1/2}delim{[}{sin({alpha}-{beta})+sin({alpha}+{beta})}{]}.
  • Если в интеграле int{}{}{sin^{m}{x}cos^{n}{x}dx}, где m и n отрицательные, одно из них нечетно, то необходимо подынтегральное выражение помножить и поделить на функцию с нечетным показателем.
  • Интегралы от четных степеней функций sinx и cosx.
    t=tg{x}.
    Интегрирование иррациональных функций
    Интегралы вида
    int{}{}{R(x,({{ax+b}/{cx+d}})^{{m_1}/{n_1}},~({{ax+b}/{cx+d}})^{{m_2}/{n_2}},cdots,({{ax+b}/{cx+d}})^{{m_k}/{n_k}})dx},
    где R(x,y,…) — рациональная функция,
    m_1,n_1,m_2,n_2,cdots,m_k,n_k – целые числа.
    t^s={ax+b}/{cx+d},
    где s – общий знаменатель дробей {{m_1}/{n_1}},{{m_2}/{n_2}},cdots,{{m_k}/{n_k}}.
    int{}{}{R(x,sqrt{ax^2+bx+x})dx},
    где R(u,ν) — рациональная функция, сводятся к одному из следующих типов

  1. int{}{}{R(u,sqrt{m^2-u^2})du}
    u=msin{t},~du={m}cos{t}dt,~sqrt{m^2-u^2}={m}cos{t};
    или
    u={m}th{t},~du={mdt}/{ch^2{t}},~sqrt{m^2-u^2}=m/{ch{t}}.
  2. int{}{}{R(u,sqrt{m^2+u^2})du}
    u=mtg{t},~du={mdt}/{cos^2{t}},~sqrt{m^2+u^2}=m/{cos{t}};
    или
    u={m}sh{t},~du={m}ch{t}dt,~sqrt{m^2+u^2}={m}ch{t}.
  3. int{}{}{R(u,sqrt{u^2-m^2})du}
    u=m/{cos{t}},~du={{m}sin{t}}/{cos^2{t}},~sqrt{u^2-m^2}={m}tg{t}};
    или
    u={m}ch{t},~du={m}sh{t}dt,~sqrt{u^2-m^2}={m}sh{t}.
  4. int{}{}{{dx}/{(mx+n)^p sqrt{ax^2+bx+c}}} интегрируются с помощью обратной подстановки: mx+n={1/t},~x={1/m}({1/t}-n),~dx=-{1/{mt^2}}dt.