Кратные интегралы

    Двойной интеграл

  • Двойной интеграл в декартовых координатах
    Область D ограничена линиями: y=ϕ1(x), y=ϕ2(x), x=a, x=b:
    doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}=int{a}{b}{(int{{varphi}_1(x)}{{varphi}_2(x)}{f(x,y)dy})dx}.
    Двойной интеграл в декартовых координатах
    Область D ограничена линиями x=ψ1(y), x=ψ2(y), y=c, y=d:
    doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}=int{c}{d}{(int{{psi}_1(y)}{{psi}_2(y)}{f(x,y)dx})dy}.
  • Замена переменных в двойном интеграле
    Если x и y являются функциями переменных u и ν: delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(u,nu),~} {y} {=} {y(u,nu),~}}}{}
    doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}=doubleint{D}{}{f(x(u,nu),y(u,nu))delim{|}{J}{|}dud{nu}}, где
    J=delim{|}{matrix{2}{2}{{{{partial}x}/{{partial}u}} {{{partial}x}/{{partial}nu}} {{{partial}y}/{{partial}u}} {{{partial}y}/{{partial}nu}}}}{|} – якобиан преобразования.
    Двойной интеграл в полярных координатах

  • doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}=doubleint{D{prime}}{}{f({rho}cos{varphi},{rho}sin{varphi})*{rho}d{rho}d{varphi}} (J = ρ)
  • Область D ограничена линиями: α ≤ ϕ ≤ β, ρ1(ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2(ϕ):
    doubleint{D}{}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}d{varphi}}=int{alpha}{beta}{d{varphi}}doubleint{{rho}_1(varphi)}{{rho}_2(varphi)}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}}.
  • Область D ограничена линиями: R1 ≤ ρ ≤ R2, ϕ1(ρ) ≤ ρ ≤ ϕ2(ρ):
    doubleint{D}{}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}d{varphi}}=int{R_1}{R_2}{{rho}d{rho}}doubleint{{varphi}_1({rho})}{{varphi}_2({rho})}{f({rho},{varphi})d{varphi}}.
    Приложения двойного интеграла

  1. Площадь плоской фигуры
    S=doubleint{D}{}{dxdy}=doubleint{D{prime}}{}{{rho}d{rho}d{varphi}}.
  2. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y) и построенного на основании D в плоскости OXY (f(x, y) ≥ 0)
    V=doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}.
  3. Масса неоднородной пластинки D с поверхностной плотностью γ(x, y)
    m=doubleint{D}{}{{gamma}(x,y)dxdy}.
  4. Статические моменты пластинки D относительно координатных осей
    S_x=doubleint{D}{}{y{gamma}(x,y)dxdy};
    S_y=doubleint{D}{}{x{gamma}(x,y)dxdy}.
  5. Координаты центра тяжести пластинки D
    x_0={doubleint{D}{}{y{gamma}(x,y)dxdy}}/m;
    y_0={doubleint{D}{}{x{gamma}(x,y)dxdy}}/m, так как S_y=m*x_0,~S_x=m*y_0.
  6. Моменты инерции пластинки D относительно координатных осей
    I_x=doubleint{D}{}{x^2{gamma}(x,y)dxdy};
    I_y=doubleint{D}{}{y^2{gamma}(x,y)dxdy}.
  7. Момент инерции пластинки D относительно начала координат
    I_0=doubleint{D}{}{(x^2+y^2){gamma}(x,y)dxdy}.