Кратные интегралы


    Двойной интеграл

  • Двойной интеграл в декартовых координатах
    Область D ограничена линиями: y=ϕ1(x), y=ϕ2(x), x=a, x=b:
    doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}=int{a}{b}{(int{{varphi}_1(x)}{{varphi}_2(x)}{f(x,y)dy})dx}.
    Двойной интеграл в декартовых координатах
    Область D ограничена линиями x=ψ1(y), x=ψ2(y), y=c, y=d:
    doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}=int{c}{d}{(int{{psi}_1(y)}{{psi}_2(y)}{f(x,y)dx})dy}.
  • Замена переменных в двойном интеграле
    Если x и y являются функциями переменных u и ν: delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(u,nu),~} {y} {=} {y(u,nu),~}}}{}
    doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}=doubleint{D}{}{f(x(u,nu),y(u,nu))delim{|}{J}{|}dud{nu}}, где
    J=delim{|}{matrix{2}{2}{{{{partial}x}/{{partial}u}} {{{partial}x}/{{partial}nu}} {{{partial}y}/{{partial}u}} {{{partial}y}/{{partial}nu}}}}{|} – якобиан преобразования.
    Двойной интеграл в полярных координатах

  • doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}=doubleint{D{prime}}{}{f({rho}cos{varphi},{rho}sin{varphi})*{rho}d{rho}d{varphi}} (J = ρ)
  • Область D ограничена линиями: αϕβ, ρ1(ϕ) ≤ ρρ2(ϕ):
    doubleint{D}{}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}d{varphi}}=int{alpha}{beta}{d{varphi}}doubleint{{rho}_1(varphi)}{{rho}_2(varphi)}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}}.
  • Область D ограничена линиями: R1ρR2, ϕ1(ρ) ≤ ρϕ2(ρ):
    doubleint{D}{}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}d{varphi}}=int{R_1}{R_2}{{rho}d{rho}}doubleint{{varphi}_1({rho})}{{varphi}_2({rho})}{f({rho},{varphi})d{varphi}}.
    Приложения двойного интеграла

  1. Площадь плоской фигуры
    S=doubleint{D}{}{dxdy}=doubleint{D{prime}}{}{{rho}d{rho}d{varphi}}.
  2. Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y) и построенного на основании D в плоскости OXY (f(x, y) ≥ 0)
    V=doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}.
  3. Масса неоднородной пластинки D с поверхностной плотностью γ(x, y)
    m=doubleint{D}{}{{gamma}(x,y)dxdy}.
  4. Статические моменты пластинки D относительно координатных осей
    S_x=doubleint{D}{}{y{gamma}(x,y)dxdy};
    S_y=doubleint{D}{}{x{gamma}(x,y)dxdy}.
  5. Координаты центра тяжести пластинки D
    x_0={doubleint{D}{}{y{gamma}(x,y)dxdy}}/m;
    y_0={doubleint{D}{}{x{gamma}(x,y)dxdy}}/m, так как S_y=m*x_0,~S_x=m*y_0.
  6. Моменты инерции пластинки D относительно координатных осей
    I_x=doubleint{D}{}{x^2{gamma}(x,y)dxdy};
    I_y=doubleint{D}{}{y^2{gamma}(x,y)dxdy}.
  7. Момент инерции пластинки D относительно начала координат
    I_0=doubleint{D}{}{(x^2+y^2){gamma}(x,y)dxdy}.
    Тройной интеграл

  • Тройной интеграл в декартовых координатах.
    Область G ограничена снизу и сверху непрерывными поверхностями: z_1=z_1(x,y) и z_2=z_2(x,y), проекция G на плоскость OXY – область D:
    tripleint{G}{}{f(x,y,z)dV}=doubleint{D}{}{dS}int{z_1(x,y)}{z_2(x,y)}{f(x,y,z)dz}.
    Область D ограничена линиями: y=y_1(x),~ y=y_2(x),~x=a,~x=b:
    tripleint{G}{}{f(x,y,z)dxdydz}=int{a}{b}{dx}int{y_1(x)}{y_2(x)}{dy}int{z_1(x,y)}{z_2(x,y)}{f(x,y,z)dz}.
    Область D задана неравенствами cyd, x1(y)≤xx1(y):
    tripleint{V}{}{f(x,y,z)dxdydz}=int{c}{d}{dy}int{x_1(x)}{x_2(x)}{dx}int{z_1(x,y)}{z_2(x,y)}{f(x,y,z)dz}.
  • Замена переменных в тройном интеграле.
    Если x, y, z — функции u, v, t: x=x(u,v,t),~y=y(u,v,t),~z=z(u,v,t).
    Якобиан перехода J=delim{|}{matrix{3}{3}{{{{partial}x}/{{partial}u}} {{{partial}x}/{{partial}nu}} {{{partial}x}/{{partial}t}} {{{partial}y}/{{partial}u}} {{{partial}y}/{{partial}nu}} {{{partial}y}/{{partial}t}} {{{partial}z}/{{partial}u}} {{{partial}z}/{{partial}nu}} {{{partial}z}/{{partial}t}}}}{|},
    tripleint{G}{}{f(x,y,z)dV}=tripleint{G{prime}}{}{f^{*}(u,{nu},t)delim{|}{J}{|}dud{nu}dt}.
  • Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
    delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x} {=} {{rho}cos{varphi},~} {y} {=} {{rho}sin{varphi},~} {z} {=} {z,~}}}{} 0≤ρ<∞, 0≤ϕ<2π, −∞<z<∞.
    Якобиан перехода: J(с, ϕ, z) = с;
    tripleint{V}{}{f(x,y,z)dxdydz}=tripleint{V{prime}}{}{f({rho}cos{varphi},{rho}sin{varphi},z){rho}d{rho}d{varphi}dz}.
  • Тройной интеграл в сферических координатах.
    delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x} {=} {{rho}*sin{theta}*cos{varphi},~} {y} {=} {{rho}*sin{theta}*sin{varphi},~} {z} {=} {{rho}*cos{theta},~}}}{} ρ≥0, 0≤θπ, 0≤ϕ≤2π.
    Якобиан перехода: J({rho},{theta},{varphi})={rho}^2*sin{theta}.
    tripleint{V}{}{f(x,y,z)dxdydz}=tripleint{V{prime}}{}{f^{*}({rho},{theta},{varphi}){rho}^2sin{theta}d{rho}d{theta}d{varphi}}.
    {tripleint{V}{}{}}tripleint{V{prime}}{}{f({rho},{theta},{varphi}){rho}^2 sin{theta}d{rho}d{theta}d{varphi}}=int{{varphi}_1}{{varphi}_2}{d{varphi}}int{{theta}_1(varphi)}{{theta}_2(varphi)}{sin{theta}d{theta}}int{{rho}_1({theta},{varphi})}{{rho}_2({theta},{varphi})}{{rho}^2 f({rho},{theta},{varphi})d{rho}}
    Приложения тройного интеграла

  • Объем тела:
    V=tripleint{V}{}{dxdydz}=tripleint{V}{}{{rho}d{rho}d{varphi}dz}=tripleint{V}{}{{rho}^2 sin{theta}d{rho}d{theta}d{varphi}}.
  • Масса неоднородного тела с плотностью γ(x,y,z):
    m=tripleint{V}{}{{gamma}dxdydz}
  • Координаты центра тяжести тела:
    x_0={tripleint{V}{}{x{gamma}(x,y,z)dxdydz}}/{tripleint{V}{}{{gamma}(x,y,z)dxdydz}},
    y_0={tripleint{V}{}{y{gamma}(x,y,z)dxdydz}}/{tripleint{V}{}{{gamma}(x,y,z)dxdydz}},
    z_0={tripleint{V}{}{z{gamma}(x,y,z)dxdydz}}/{tripleint{V}{}{{gamma}(x,y,z)dxdydz}}.
  • Моменты инерции тела:
    I_x=tripleint{V}{}{(y^2+z^2){gamma}(x,y,z)dxdydz},
    I_y=tripleint{V}{}{(x^2+z^2){gamma}(x,y,z)dxdydz},
    I_z=tripleint{V}{}{(x^2+y^2){gamma}(x,y,z)dxdydz}.