Двойной интеграл
- Двойной интеграл в декартовых координатах
Область D ограничена линиями: y=ϕ1(x), y=ϕ2(x), x=a, x=b:
.
![Двойной интеграл в декартовых координатах](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/ris-vm-kr-integral.jpg)
Область D ограничена линиями x=ψ1(y), x=ψ2(y), y=c, y=d:
.
- Замена переменных в двойном интеграле
Если x и y являются функциями переменных u и ν: ![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(u,nu),~} {y} {=} {y(u,nu),~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(u,nu),~} {y} {=} {y(u,nu),~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_967.5_0a88b89322ac658898001d864cea93bb.png)
где
– якобиан преобразования.
Двойной интеграл в полярных координатах
(J = ρ)
- Область D ограничена линиями: α ≤ ϕ ≤ β, ρ1(ϕ) ≤ ρ ≤ ρ2(ϕ):
![doubleint{D}{}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}d{varphi}}=int{alpha}{beta}{d{varphi}}doubleint{{rho}_1(varphi)}{{rho}_2(varphi)}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}}. doubleint{D}{}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}d{varphi}}=int{alpha}{beta}{d{varphi}}doubleint{{rho}_1(varphi)}{{rho}_2(varphi)}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_955_aa68b5b8d8b53f6844b38b9244e56748.png)
- Область D ограничена линиями: R1 ≤ ρ ≤ R2, ϕ1(ρ) ≤ ρ ≤ ϕ2(ρ):
![doubleint{D}{}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}d{varphi}}=int{R_1}{R_2}{{rho}d{rho}}doubleint{{varphi}_1({rho})}{{varphi}_2({rho})}{f({rho},{varphi})d{varphi}}. doubleint{D}{}{f({rho},{varphi}){rho}d{rho}d{varphi}}=int{R_1}{R_2}{{rho}d{rho}}doubleint{{varphi}_1({rho})}{{varphi}_2({rho})}{f({rho},{varphi})d{varphi}}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_955_bbb18d653bf8e0dce572b84de15f6236.png)
Приложения двойного интеграла
- Площадь плоской фигуры
![S=doubleint{D}{}{dxdy}=doubleint{D{prime}}{}{{rho}d{rho}d{varphi}}. S=doubleint{D}{}{dxdy}=doubleint{D{prime}}{}{{rho}d{rho}d{varphi}}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_970.5_cc84594af6bd7e305405a85700a221f3.png)
- Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y) и построенного на основании D в плоскости OXY (f(x, y) ≥ 0)
![V=doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}. V=doubleint{D}{}{f(x,y)dxdy}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_966_fc279b83bd725736a1e8e01b4ae40b2b.png)
- Масса неоднородной пластинки D с поверхностной плотностью γ(x, y)
![m=doubleint{D}{}{{gamma}(x,y)dxdy}. m=doubleint{D}{}{{gamma}(x,y)dxdy}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_966_438a5b8d7ede9198fa230cfff6e2e8cb.png)
- Статические моменты пластинки D относительно координатных осей
![S_x=doubleint{D}{}{y{gamma}(x,y)dxdy}; S_x=doubleint{D}{}{y{gamma}(x,y)dxdy};](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_966_021b78374307d0a3b74421ea409936bc.png)
![S_y=doubleint{D}{}{x{gamma}(x,y)dxdy}. S_y=doubleint{D}{}{x{gamma}(x,y)dxdy}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_966_36dfa9f5af9374280ea2de1f1e1eb1f3.png)
- Координаты центра тяжести пластинки D
![x_0={doubleint{D}{}{y{gamma}(x,y)dxdy}}/m; x_0={doubleint{D}{}{y{gamma}(x,y)dxdy}}/m;](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_074bb9685dd5876e748d57f5bdd06fc1.png)
так как ![S_y=m*x_0,~S_x=m*y_0. S_y=m*x_0,~S_x=m*y_0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_984_ff8ba8fec6585e8cbcd1c0d1ee9722c9.png)
- Моменты инерции пластинки D относительно координатных осей
![I_x=doubleint{D}{}{x^2{gamma}(x,y)dxdy}; I_x=doubleint{D}{}{x^2{gamma}(x,y)dxdy};](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_961_1604dd965151768a664fc3e8aa55c890.png)
![I_y=doubleint{D}{}{y^2{gamma}(x,y)dxdy}. I_y=doubleint{D}{}{y^2{gamma}(x,y)dxdy}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_961_de95d9b2dd4a3c4e2e7d979e083c3ed7.png)
- Момент инерции пластинки D относительно начала координат
![I_0=doubleint{D}{}{(x^2+y^2){gamma}(x,y)dxdy}. I_0=doubleint{D}{}{(x^2+y^2){gamma}(x,y)dxdy}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_959_4ce53001320c0b80e585cc85c3a3257a.png)
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач