Комплексные числа

Примеры действий над комплексными числами здесь.

    Формы записи комплексных чисел

  • Алгебраическая:
    z = x + i·y; x = Re z, y = Im z.
  • Тригонометрическая:
    z = r·(cosϕ + i·sinϕ); r = |z| = Mod z, ϕ = Arg z.
  • Показательная:
    z = r·eiϕ
    Связь между различными характеристиками комплексных чисел

  • |z| = r = sqrt{x^2+y^2}, delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{arctg{y/x},~(x>0),~} {arctg{y/x}+pi,~(x<0,~y>0),~} {arctg{y/x}-pi,~(x<0,~y<0),~}}}{}
    0 ≤ ϕ < 2π,
    формула Эйлера: eiϕ = cosϕ + i·sinϕ.
    Действия над комплексными числами

  • Комплексное сопряжение:
    overline{z} = x −i·y, overline{z} = r·(cosϕ − i·sinϕ), overline{z} = r·eiϕ
  • Сложение и вычитание:
    z_1=x_1+i*y_1,~ z_2=x_2+i*y_2;
    z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2)+i*(y_1+y_2);
    z_1-z_2=(x_1-x_2,y_1-y_2)=(x_1-x_2)+i*(y_1-y_2).
  • Умножение:
    z_1*z_2=(x_1*x_2-y_1*y_2)+i*(x_1*y_2+x_2*y_1).
    z_1*z_2=r_1*r_2*(cos(varphi_1+varphi_2)+i*sin(varphi_1+varphi_2)).
    z_1=r_1*e^{i{varphi_1}},~z_2=r_2*e^{i{varphi_2}}, z_1*z_2=r_1*r_2*e^{i{varphi_1}}*e^{i{varphi_2}}.
  • Деление:
    z_1/z_2={x_1*x_2+y_1*y_2}/{x_2^2+y_2^2}+i*{x_2*y_1-x_1*y_2}/{x_2^2+y_2^2}.
    z_1/z_2=r_1/r_2delim{[}{cos(varphi_1-varphi_2)+i*sin(varphi_1-varphi_2)}{]}.
    z_1/z_2=r_1/r_2e^({varphi_1-varphi_2)}.
  • Возведение в степень:
    z^n=r^n(cos~n{varphi}+i*sin~n{varphi});~z=re^{i{varphi}},~z^n={r^n}e^{{i}n{varphi}}.
    (cos~{varphi}+i*sin~{varphi})^n=cos~n{varphi}+i*sin~n{varphi} – формула Муавра.
  • Извлечение корня:
    z=re^{i{varphi}},~w_k=root{n}{re^{i{varphi}}}=root{n}{r}e^{i({varphi}/n+k{{2pi}/n})},~k=0,1,2...n-1
    w_0=root{n}{r}e^{i{varphi}/n},~w_1=root{n}{r}e^{i({varphi}/n+{2pi}/n)},
    w_2=root{n}{r}e^{i({varphi}/n+2{2pi}/n)},...w_{n-1}=root{n}{r}e^{i({varphi}/n+(n-1){2pi}/n)}.