- Частные производные сложной функции z=z(u,υ), u=u(x,y), υ=υ(x,y):
.
- Полная производная функции z=z(x,y), y=y(x):
![{dz}/{dx}={{partial}z}/{{partial}x}+{{partial}z}/{{partial}y}{dy}/{dx} {dz}/{dx}={{partial}z}/{{partial}x}+{{partial}z}/{{partial}y}{dy}/{dx}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_979_83eb40c58a99facc48d4ff51e402a9bb.png)
- Полная производная функции z=z(x,y), x=x(t), y=y(t):
.
- Дифференциалы функции z=f(x,y):
![dz={{partial}z}/{{partial}x}dx+{{partial}z}/{{partial}y}dy dz={{partial}z}/{{partial}x}dx+{{partial}z}/{{partial}y}dy](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_979_c1611ba19fb355409dc361e8ab6ce347.png)
.
- Применение дифференциала к приближенным вычислениям:
.
- Производная от функции, заданной неявно:
F(x,y)=0: ![{dy}/{dx}=-{{F_x{prime}(x,y)}/{F_y{prime}(x,y)}} {dy}/{dx}=-{{F_x{prime}(x,y)}/{F_y{prime}(x,y)}}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_970_4a8006fe66fca4eeff4f1fa68d2a6658.png)
F(x,y,z)=0:
.
- Необходимые условия экстремума функции z=f(x,y) в точке (x0,y0):
или не существуют.
- Достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) точке (x0,y0):
![{Delta}=delim{|}{matrix{2}{2}{{{f_{xx}}{prime}{prime}} {{f_{xy}}{prime}{prime}} {{f_{yx}}{prime}{prime}} {{f_{yy}}{prime}{prime}}}}{|}_(x_0,y_0) {Delta}=delim{|}{matrix{2}{2}{{{f_{xx}}{prime}{prime}} {{f_{xy}}{prime}{prime}} {{f_{yx}}{prime}{prime}} {{f_{yy}}{prime}{prime}}}}{|}_(x_0,y_0)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951_3de420e3598ba0acb1fe22c81072d775.png)
максимум, если ∆>0, fxx''<0;
минимум, если ∆>0, fxx''>0;
экстремума нет, если ∆<0;
если ∆=0, нужно исследовать знак разности f(x,y)−f(x0,y0).
- Условный экстремум:
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{z} {=} {f(x,y),~} {{varphi}(x,y)} {=} {0,~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{z} {=} {f(x,y),~} {{varphi}(x,y)} {=} {0,~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_967.5_2dd6ea7228dc21e5171320109c004f34.png)
.
- Вектор-функция скалярного аргумента:
={x(t),y(t),z(t)}.
Вектор касательной:
.
- Уравнения касательной к линии, заданной параметрически:
в точке (x0,y0,z0):
.
- Уравнения касательной к линии пересечения двух поверхностей
![L:~delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{F_1(x,y,z)} {=} {0,~} {F_2(x,y,z)} {=} {0~}}}{} L:~delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{F_1(x,y,z)} {=} {0,~} {F_2(x,y,z)} {=} {0~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_964_7b6a446b2aee3b9e0adbc8b39ce150b0.png)
.
- Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M0(x0,y0,z0).
Вектор нормали: ![vec{n}=delim{lbrace}{{{partial}F}/{{partial}x},~{{partial}F}/{{partial}y},~{{partial}F}/{{partial}z}}{rbrace}. vec{n}=delim{lbrace}{{{partial}F}/{{partial}x},~{{partial}F}/{{partial}y},~{{partial}F}/{{partial}z}}{rbrace}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_975.5_bf6b08aac61abdfbf1be88b914b1d0c4.png)
- Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M0(x0,y0,z0).
Касательная плоскость:
.
- Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M0(x0,y0,z0).
Нормаль к поверхности:
.
- Поверхность задана явно: z=f(x,y).
Вектор нормали: ![vec{n}=delim{lbrace}{-{{partial}f}/{{partial}x},~-{{partial}f}/{{partial}y},~{1}}{rbrace}. vec{n}=delim{lbrace}{-{{partial}f}/{{partial}x},~-{{partial}f}/{{partial}y},~{1}}{rbrace}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_975.5_89937a86a521de47506140c29494bbae.png)
- Поверхность задана явно: z=f(x,y).
Касательная плоскость:
.
- Поверхность задана явно: z=f(x,y).
Нормаль к поверхности:
.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач