Функции нескольких переменных


  1. Частные производные сложной функции z=z(u,υ), u=u(x,y), υ=υ(x,y):
    {{partial}z}/{{partial}x}={{partial}z}/{{partial}u}{{partial}u}/{{partial}x}+{{partial}z}/{{partial}{nu}}{{partial}{nu}}/{{partial}x},~{{partial}z}/{{partial}y}={{partial}z}/{{partial}u}{{partial}u}/{{partial}y}+{{partial}z}/{{partial}{nu}}{{partial}{nu}}/{{partial}y}.
  2. Полная производная функции z=z(x,y), y=y(x):
    {dz}/{dx}={{partial}z}/{{partial}x}+{{partial}z}/{{partial}y}{dy}/{dx}
  3. Полная производная функции z=z(x,y), x=x(t), y=y(t):
    {dz}/{dt}={{partial}z}/{{partial}x}{dx}/{dt}+{{partial}z}/{{partial}y}{dy}/{dt}.
  4. Дифференциалы функции z=f(x,y):
    dz={{partial}z}/{{partial}x}dx+{{partial}z}/{{partial}y}dy
    {d^2}z={{partial}^{2}z}/{{{partial}x}^2}dx^2+2{{{partial}^{2}z}/{{partial}x{partial}y}}dxdy+{{{partial}^2}z}/{{{partial}y}^2}dy^2.
  5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям:
    f(x+{Delta}x),~(y+{Delta}y){approx}f(x,y)+{{{partial}f}/{{partial}x}}{{Delta}x}+{{{partial}f}/{{partial}y}}{{Delta}y}.
  6. Производная от функции, заданной неявно:
    F(x,y)=0: {dy}/{dx}=-{{F_x{prime}(x,y)}/{F_y{prime}(x,y)}}
    F(x,y,z)=0: {{partial}F}/{{partial}x}=-{{F_x{prime}}/{F_z{prime}}}~{{partial}F}/{{partial}y}=-{{F_y{prime}}/{F_z{prime}}}.
  7. Необходимые условия экстремума функции z=f(x,y) в точке (x0,y0):
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{{f_x}{prime}(x_0,y_0)} {=} {0,~} {{f_y}{prime}(x_0,y_0)} {=} {0.~}}}{} или не существуют.
  8. Достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) точке (x0,y0):
    {Delta}=delim{|}{matrix{2}{2}{{{f_{xx}}{prime}{prime}} {{f_{xy}}{prime}{prime}} {{f_{yx}}{prime}{prime}} {{f_{yy}}{prime}{prime}}}}{|}_(x_0,y_0)
    максимум, если ∆>0, fxx''<0;
    минимум, если ∆>0, fxx''>0;
    экстремума нет, если ∆<0;
    если ∆=0, нужно исследовать знак разности f(x,y)−f(x0,y0).
  9. Условный экстремум: delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{z} {=} {f(x,y),~} {{varphi}(x,y)} {=} {0,~}}}{}
    delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{{f_x}{prime}+{lambda}{{varphi}_x}{prime}} {=} {0,~} {{f_y}{prime}+{lambda}{{varphi}_y}{prime}} {=} {0,~} {{varphi}(x,y)} {=} {0.~}}}{}.
  10. Вектор-функция скалярного аргумента: vec{r}={x(t),y(t),z(t)}.
    Вектор касательной: {vec{r}}/{dt}={lbrace}{dx}/{dt},~{dy}/{dt},~{dz}/{dt}{rbrace}.
  11. Уравнения касательной к линии, заданной параметрически: delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{x} {=} {x(t),~} {y} {=} {y(t),~} {z} {=} {z(t),~}}}{} в точке (x0,y0,z0):
    {x-x_0}/{delim{}{{dx}/{dt}}{|}_{M_0}}={y-y_0}/{delim{}{{dy}/{dt}}{|}_{M_0}}={z-z_0}/{delim{}{{dz}/{dt}}{|}_{M_0}}.
  12. Уравнения касательной к линии пересечения двух поверхностей L:~delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{F_1(x,y,z)} {=} {0,~} {F_2(x,y,z)} {=} {0~}}}{}
    {x-x_0}/{delim{|}{matrix{2}{2}{{F_{1y}{prime}} {F_{1z}{prime}} {F_{2y}{prime}} {F_{2z}{prime}}}}{|}_{M_0}}={y-y_0}/{delim{|}{matrix{2}{2}{{F_{1z}{prime}} {F_{1x}{prime}} {F_{2z}{prime}} {F_{2x}{prime}}}}{|}_{M_0}}={z-z_0}/{delim{|}{matrix{2}{2}{{F_{1x}{prime}} {F_{1y}{prime}} {F_{2x}{prime}} {F_{2y}{prime}}}}{|}_{M_0}}.
  13. Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M0(x0,y0,z0).
    Вектор нормали: vec{n}=delim{lbrace}{{{partial}F}/{{partial}x},~{{partial}F}/{{partial}y},~{{partial}F}/{{partial}z}}{rbrace}.
  14. Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M0(x0,y0,z0).
    Касательная плоскость: {delim{}{{{partial}F}/{dx}}{|}_{M_0}}(x-x_0)+{delim{}{{{partial}F}/{dy}}{|}_{M_0}}(y-y_0)+{delim{}{{{partial}F}/{dz}}{|}_{M_0}}(z-z_0)=0.
  15. Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M0(x0,y0,z0).
    Нормаль к поверхности: {x-x_0}/{delim{}{{{partial}F}/{{partial}x}}{|}_{M_0}}={y-y_0}/{delim{}{{{partial}F}/{{partial}y}}{|}_{M_0}}={z-z_0}/{delim{}{{{partial}F}/{{partial}z}}{|}_{M_0}}.
  16. Поверхность задана явно: z=f(x,y).
    Вектор нормали: vec{n}=delim{lbrace}{-{{partial}f}/{{partial}x},~-{{partial}f}/{{partial}y},~{1}}{rbrace}.
  17. Поверхность задана явно: z=f(x,y).
    Касательная плоскость: z-z_0={delim{}{{{partial}f}/{dx}}{|}_{M_0}}(x-x_0)+{delim{}{{{partial}f}/{dy}}{|}_{M_0}}(y-y_0).
  18. Поверхность задана явно: z=f(x,y).
    Нормаль к поверхности: {x-x_0}/{delim{}{-{{partial}f}/{{partial}x}}{|}_{M_0}}={y-y_0}/{delim{}{-{{partial}f}/{{partial}y}}{|}_{M_0}}={z-z_0}/1.