Предел последовательности
- Арифметическая прогрессия { an } – числовая последовательность a1, a2, … , an, n ∈ N такая, что
∀n > 1, an = an-1 + d (d – разность).
(n > 1).
![S_n={{a_1+a_n}/2}*n={{2a_1+d*(n-1)}/2}*n S_n={{a_1+a_n}/2}*n={{2a_1+d*(n-1)}/2}*n](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980_eff7ce04e97c6bb8a025edcf7c9a5973.png)
- Геометрическая прогрессия { bn } – числовая последовательность b1, b2, … , bn, n ∈ N такая, что
b1 ≠ 0 и ∀n > 1, bn = bn-1 × q (q – знаменатель).
(n > 1)
, q ≠ 1.
, если 0 < |q| < 1.
- Основные определения
{xn} – последовательность xn.
xn = f(n) — формула общего члена последовательности.
— предел последовательности {xn}; если a ∈ R, последовательность {xn} называется сходящейся.
{xn} бесконечно малая последовательность, если
.
{xn} бесконечно большая последовательность, если
∀M > 0 ∃N = N(M): ∀n > N(M) ⇒ |xn| > M.
- Свойства сходящихся последовательностей
![lim{n{right}{infty}}{x_n}=a,~lim{n{right}{infty}}{x_n}=b: lim{n{right}{infty}}{x_n}=a,~lim{n{right}{infty}}{x_n}=b:](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_c5df77925641f819adeed5dfb1f5e338.png)
![lim{n{right}{infty}}{(x_n+y_n)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}+lim{n{right}{infty}}{y_n}=a+b; lim{n{right}{infty}}{(x_n+y_n)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}+lim{n{right}{infty}}{y_n}=a+b;](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_3277ecb817739996305d1b269eb60445.png)
![lim{n{right}{infty}}{(x_n-y_n)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}-lim{n{right}{infty}}{y_n}=a-b; lim{n{right}{infty}}{(x_n-y_n)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}-lim{n{right}{infty}}{y_n}=a-b;](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_826ded44d0ee174becc936a27a2ef86a.png)
![lim{n{right}{infty}}{(x_n*y_n)}=(lim{n{right}{infty}}{x_n})*(lim{n{right}{infty}}{y_n})=a*b; lim{n{right}{infty}}{(x_n*y_n)}=(lim{n{right}{infty}}{x_n})*(lim{n{right}{infty}}{y_n})=a*b;](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_970.5_19b32a14447fc22badce6f8255e610c6.png)
если yn ≠ 0, b ≠ 0;
![lim{n{right}{infty}}{({x_n}+b)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}+b=a+b; lim{n{right}{infty}}{({x_n}+b)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}+b=a+b;](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_242923a0148fe0105d194fb60a81e174.png)
![lim{n{right}{infty}}{(C*x_n)}=C*lim{n{right}{infty}}{x_n}=C*a. lim{n{right}{infty}}{(C*x_n)}=C*lim{n{right}{infty}}{x_n}=C*a.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_48caf32ea3278f5bdfd93e3b2103647d.png)
- Если для любого n xn ≤ b, то
≤ b.
Если для любого n xn ≥ b, то
≥ b.
Если для любого n xn ≤ yn ≤ zx и
то ![lim{n{right}{infty}}{y_n}=a. lim{n{right}{infty}}{y_n}=a.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_f90c24e19aa53748e6ab638a27e648b4.png)
где {an} – бесконечно малая последовательность.
- Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (б.м.п. и б.б.п.)
1. Б.м.п. ограничена.
2. Сумма, разность и произведение двух б.м.п. есть также б.м.п.
3. Произведение ограниченной последовательности на б.м.п. есть также б.м.п.
4. Если элементы б.м.п. {xn} не равны нулю, то
последовательность
– б.б.п.
5. Если {xn} – б.б.п. и xn ≠ 0, то
последовательность
– б.м.п.
- Важные соотношения:
![e=lim{n{right}{infty}}{(1+1/n)^n},~ e{approx}2,718281828459045...~.~ pi=3,141592654... e=lim{n{right}{infty}}{(1+1/n)^n},~ e{approx}2,718281828459045...~.~ pi=3,141592654...](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_7abffb0c25ed6e812824a4cfc9f0e8c1.png)
n!=1∙2∙3∙…∙n, формула Стирлинга: при n → ∞ n!≈![sqrt{2{pi}n}(n/e)^n. sqrt{2{pi}n}(n/e)^n.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_977.5_895b86dd812c5ef6c702b1bbe6ef06c8.png)
Неравенство Бернулли: (1+α)n ≥ 1 + nα, α > -1, n ∈ N.
Формула бинома Ньютона: ![(a+b)^n={a^n}{b^0}+na^{n-1}b^1+{n(n-1)}/{2!}a^{n-2}b^2+{n(n-1)(n-2)}/{3!}a^{n-3}b^3+...+ (a+b)^n={a^n}{b^0}+na^{n-1}b^1+{n(n-1)}/{2!}a^{n-2}b^2+{n(n-1)(n-2)}/{3!}a^{n-3}b^3+...+](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980_ac94ea580c9b8bc6ddcbc4f13afb6e1a.png)
![{}+{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}/{n!}a^0b^n. {}+{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}/{n!}a^0b^n.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980_23493276f58386eea02ee3b6feafe750.png)
![(1+1/n)^n=1+{C_n}^1*{1/n}+{C_n}^2*{1/{n^2}}+...+1/{n^n}= (1+1/n)^n=1+{C_n}^1*{1/n}+{C_n}^2*{1/{n^2}}+...+1/{n^n}=](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_b8bf8a8b4fbf8c5e65acb854a72129be.png)
![{}=1+n*{1/n}+{{n(n-1)}/2}*{1/{n^2}}+{{n(n-1)(n-2)}/{3!}}*{1/{n^3}}+...+ {}=1+n*{1/n}+{{n(n-1)}/2}*{1/{n^2}}+{{n(n-1)(n-2)}/{3!}}*{1/{n^3}}+...+](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_b7a726a3f921be777ba7fa5f73c21305.png)
Предел функции
- Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a, если для любой последовательности {xn} такой, что xn ∈ D(f), xn ≠ a,
, выполняется равенство
, которое обозначают:
.
Определение предела по Коши (на языке «ε — δ»). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a, если
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0: ∀x ∈ D(f): 0 < |x − a| < δ(ε) ⇒ |f(x) − A| < ε.
- Предел функции f в точке x = a
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
- f — бесконечно большая функция в точке x = a
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x)| > M
- Предел функции f при x → ±∞
∀ε > 0 ∃M(ε): ∀x: x ≥ M ⇒ |f(x) − A| < ε
∀ε > 0 ∃M(ε): ∀x: x ≤ M ⇒ |f(x) − A| < ε
- f — бесконечно большая функция при x → ±∞
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≥ x0 ⇒ f(x) > M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≥ x0 ⇒ f(x) < M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≤ x0 ⇒ f(x) > M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≤ x0 ⇒ f(x) < M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≥ x0 ⇒ |f(x)| > M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≤ x0 ⇒ |f(x)| > M
- Односторонние пределы справа и слева
∀ε > ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
∀ε > ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
- f — бесконечно большая функция справа и слева от точки x = a
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ |f(x)| > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ |f(x)| > M
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
- Функция α(x) называется бесконечно малой в точке a, если
![lim{x{right}a}{alpha(x)}=0. lim{x{right}a}{alpha(x)}=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974.5_b1931e12aa54ce6f60fd74eecca52311.png)
- Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a, если
![lim{x{right}a}{f(x)}={infty}. lim{x{right}a}{f(x)}={infty}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974.5_6248e44234a10da755fc3b49af02d66f.png)
- Свойства
1. Если
то ![lim{x{right}a}{(alpha(x)+beta(x))}=0. lim{x{right}a}{(alpha(x)+beta(x))}=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_5a1cde7637f0b26648abcb881269e045.png)
2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.
3. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
4.
≠0,
, то ![lim{x{right}a}{{alpha(x)}/{f(x)}}=0. lim{x{right}a}{{alpha(x)}/{f(x)}}=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_361c89e0ba59be3088ae89cf9b66667b.png)
5. Если α(x) — бесконечно малая функция при x → a и α(x) ≠ 0 при x ≠ a, то
— бесконечно большая функция при x → a. Если α(x) — бесконечно большая, то
— бесконечно малая.
6. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.
7. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.
Свойства функций, имеющих предел
![lim{x{right}x_0}{f(x)}=A~doubleleftright~f(x)=A+{alpha}(x),~lim{x{right}x_0}{alpha(x)}=0; lim{x{right}x_0}{f(x)}=A~doubleleftright~f(x)=A+{alpha}(x),~lim{x{right}x_0}{alpha(x)}=0;](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_966.5_0e823441386bc8260f730cb238144fae.png)
, если пределы f и ϕ существуют.
, если пределы f и ϕ существуют.
.
, если пределы f и ϕ существуют и
≠0.
- f(x) ≤ ϕ(x)
≤ ![lim{x{right}x_0}{varphi(x)}. lim{x{right}x_0}{varphi(x)}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_966.5_c6cfedc3230fdefef09d5bbbc2f0aa19.png)
f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x),
(теорема о пределе промежуточной функции).
Замечательные пределы
- Первый замечательный предел
:
![lim{x{right}0}{{sin(x)}/x}=1. lim{x{right}0}{{sin(x)}/x}=1.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_39cf02cfbb3d23016933a38d2bd18b42.png)
- Второй замечательный предел
:
![lim{x{right}{infty}}{(1+{1/x})^x}=e;~lim{t{right}0}{(1+t)^{1/t}}=e. lim{x{right}{infty}}{(1+{1/x})^x}=e;~lim{t{right}0}{(1+t)^{1/t}}=e.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_a081b6ee2ac7c01d4f0928af01dec7b3.png)
Производная функции
- Производная функции f(x) в точке x:
![y{prime}={dy}/{dx}=f{prime}(x)=lim{{Delta}x{right}0}{{Delta{y}}/{Delta{x}}}=lim{{Delta}x{right}0}{{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}} y{prime}={dy}/{dx}=f{prime}(x)=lim{{Delta}x{right}0}{{Delta{y}}/{Delta{x}}}=lim{{Delta}x{right}0}{{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_974_4cada6edbea6ef4bd5690898ab3eeb00.png)
- Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (x0, f(x0):
![y=f(x_0)+f{prime}(x_0)(x-x_0) y=f(x_0)+f{prime}(x_0)(x-x_0)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_ba1b5d63013a8f1adf522544ad99a4fb.png)
- Уравнение нормали:
![y=f(x_0)+{{-1}/{f{prime}(x_0)}}(x-x_0) y=f(x_0)+{{-1}/{f{prime}(x_0)}}(x-x_0)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_957_7abd61c854ef4f8e418691f190613adb.png)
- Правила и формулы дифференцирования:
1) ![(c){prime}=0,~c=const; (c){prime}=0,~c=const;](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_989.5_3df2cc1835818d6f8e07c2e0dbbc0a7e.png)
2) ![(f(x){pm}g(x)){prime}=f{prime}(x){pm}g{prime}(x); (f(x){pm}g(x)){prime}=f{prime}(x){pm}g{prime}(x);](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_987_18bea37fbe3523a62f436b67ea6bb991.png)
3) ![(c*f(x)){prime}=c*f{prime}(x); (c*f(x)){prime}=c*f{prime}(x);](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_987_6ad8c144be49ab788de4b82567666729.png)
4) ![(f(x)*g(x)){prime}=f{prime}(x)*g(x)+g{prime}(x)*f(x); (f(x)*g(x)){prime}=f{prime}(x)*g(x)+g{prime}(x)*f(x);](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_987_fcfb88800164160b812ffdb8bec39941.png)
5)
g(x) ≠ 0.
- Производная обратной функции:
![(f^{-1}(y)){prime}_{y=y_0}=1/{f{prime}(x_0)},~y_0=f(x_0) (f^{-1}(y)){prime}_{y=y_0}=1/{f{prime}(x_0)},~y_0=f(x_0)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_957_81b89650d5e9684e4b54160e484d26db.png)
- Производная сложной функции:
тогда ![y{prime}(x)=y_u{prime}u_x{prime} y{prime}(x)=y_u{prime}u_x{prime}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_983.5_50efc10da68db9d824a1e5e47a9ea424.png)
- Логарифмическая производная:
![ln~y=ln~f(x),~delim{[}{ln~y}{]}_x{prime}={1/y}y{prime},~y{prime}=y*delim{[}{ln~y}{]}{prime} ln~y=ln~f(x),~delim{[}{ln~y}{]}_x{prime}={1/y}y{prime},~y{prime}=y*delim{[}{ln~y}{]}{prime}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_e006ef725d881f97e3141fcbd0e2abc9.png)
- Производная неявной функции:
![F(x,y(x))=0,~F_1(x,y(x),y{prime}(x))=0{doubleright}y{prime}(x) F(x,y(x))=0,~F_1(x,y(x),y{prime}(x))=0{doubleright}y{prime}(x)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_984_3945caeca222b2ec03d2cd7c30908059.png)
- Производная функции, заданной параметрически:
![y=y(x){doubleright} y=y(x){doubleright}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_989.5_c171f7471f086ac2e47d8721495b7499.png)
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(t)~} {y} {=} {y(t)~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(t)~} {y} {=} {y(t)~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_967.5_cbdc78c968ea4bbe22439ea44ac2d956.png)
![{doubleright}y_x{prime}={y_t{prime}}/{x_t{prime}} {doubleright}y_x{prime}={y_t{prime}}/{x_t{prime}}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_973_a1371d843605c8fb020855abbd244f96.png)
Таблица производных (с учетом u = ϕ(x))
.
(a > 0, a ≠ 1)
.
(a > 0, a ≠ 1)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. Гиперболический синус
.
. Гиперболический косинус
.
. Гиперболический тангенс
.
. Гиперболический котангенс
.
Производные высших порядков
- Производная второго порядка:
.
- Производная n-го порядка:
или
.
- Производная неявной функции:
, дифференцируем по x,
.
Для отыскания второй производной соотношение
дифференцируем два раза по x, считая y функцией x,
и выражаем y′′ как функцию y и x.
- Производные функции, заданной параметрически:
![y=y(x){doubleright} y=y(x){doubleright}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_989.5_c171f7471f086ac2e47d8721495b7499.png)
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(t)~} {y} {=} {y(t)~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(t)~} {y} {=} {y(t)~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_967.5_cbdc78c968ea4bbe22439ea44ac2d956.png)
— первая,
— вторая.
Правила вычисления производной n-го порядка
- Производная суммы:
[f(x)+g(x)](n)=f(n)(x)+g(n)(x).
- Формула Лейбница (производная произведения):
, где
– число сочетаний из n по k,
.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач