Предел последовательности
- Арифметическая прогрессия { an } – числовая последовательность a1, a2, … , an, n ∈ N такая, что
∀n > 1, an = an-1 + d (d – разность).
(n > 1).
- Геометрическая прогрессия { bn } – числовая последовательность b1, b2, … , bn, n ∈ N такая, что
b1 ≠ 0 и ∀n > 1, bn = bn-1 × q (q – знаменатель).
(n > 1)
, q ≠ 1.
, если 0 < |q| < 1.
- Основные определения
{xn} – последовательность xn.
xn = f(n) — формула общего члена последовательности.
— предел последовательности {xn}; если a ∈ R, последовательность {xn} называется сходящейся.
{xn} бесконечно малая последовательность, если .
{xn} бесконечно большая последовательность, если
∀M > 0 ∃N = N(M): ∀n > N(M) ⇒ |xn| > M.
- Свойства сходящихся последовательностей
если yn ≠ 0, b ≠ 0;
- Если для любого n xn ≤ b, то ≤ b.
Если для любого n xn ≥ b, то ≥ b.
Если для любого n xn ≤ yn ≤ zx и то
где {an} – бесконечно малая последовательность.
- Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (б.м.п. и б.б.п.)
1. Б.м.п. ограничена.
2. Сумма, разность и произведение двух б.м.п. есть также б.м.п.
3. Произведение ограниченной последовательности на б.м.п. есть также б.м.п.
4. Если элементы б.м.п. {xn} не равны нулю, то
последовательность – б.б.п.
5. Если {xn} – б.б.п. и xn ≠ 0, то
последовательность – б.м.п.
- Важные соотношения:
n!=1∙2∙3∙…∙n, формула Стирлинга: при n → ∞ n!≈
Неравенство Бернулли: (1+α)n ≥ 1 + nα, α > -1, n ∈ N.
Формула бинома Ньютона:
Предел функции
- Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a, если для любой последовательности {xn} такой, что xn ∈ D(f), xn ≠ a, , выполняется равенство , которое обозначают: .
Определение предела по Коши (на языке «ε — δ»). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a, если
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0: ∀x ∈ D(f): 0 < |x − a| < δ(ε) ⇒ |f(x) − A| < ε.
- Предел функции f в точке x = a
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
- f — бесконечно большая функция в точке x = a
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x)| > M
- Предел функции f при x → ±∞
∀ε > 0 ∃M(ε): ∀x: x ≥ M ⇒ |f(x) − A| < ε
∀ε > 0 ∃M(ε): ∀x: x ≤ M ⇒ |f(x) − A| < ε
- f — бесконечно большая функция при x → ±∞
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≥ x0 ⇒ f(x) > M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≥ x0 ⇒ f(x) < M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≤ x0 ⇒ f(x) > M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≤ x0 ⇒ f(x) < M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≥ x0 ⇒ |f(x)| > M
∀M ∃x0(M): ∀x: x ≤ x0 ⇒ |f(x)| > M
- Односторонние пределы справа и слева
∀ε > ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
∀ε > ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
- f — бесконечно большая функция справа и слева от точки x = a
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ |f(x)| > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ |f(x)| > M
Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства
- Функция α(x) называется бесконечно малой в точке a, если
- Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a, если
- Свойства
1. Если то
2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.
3. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
4. ≠0, , то
5. Если α(x) — бесконечно малая функция при x → a и α(x) ≠ 0 при x ≠ a, то — бесконечно большая функция при x → a. Если α(x) — бесконечно большая, то — бесконечно малая.
6. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.
7. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.
Свойства функций, имеющих предел
- , если пределы f и ϕ существуют.
- , если пределы f и ϕ существуют.
- .
- , если пределы f и ϕ существуют и ≠0.
- f(x) ≤ ϕ(x) ≤
- f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x), (теорема о пределе промежуточной функции).
Замечательные пределы
- Первый замечательный предел :
- Второй замечательный предел :
Производная функции
- Производная функции f(x) в точке x:
- Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (x0, f(x0):
- Уравнение нормали:
- Правила и формулы дифференцирования:
1)
2)
3)
4)
5) g(x) ≠ 0.
- Производная обратной функции:
- Производная сложной функции:
тогда
- Логарифмическая производная:
- Производная неявной функции:
- Производная функции, заданной параметрически:
Таблица производных (с учетом u = ϕ(x))
- .
- (a > 0, a ≠ 1) .
- (a > 0, a ≠ 1) .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- .
- . Гиперболический синус .
- . Гиперболический косинус .
- . Гиперболический тангенс .
- . Гиперболический котангенс .
Производные высших порядков
- Производная второго порядка:
.
- Производная n-го порядка:
или .
- Производная неявной функции:
, дифференцируем по x, .
Для отыскания второй производной соотношение дифференцируем два раза по x, считая y функцией x,
и выражаем y′′ как функцию y и x.
- Производные функции, заданной параметрически:
— первая, — вторая.
Правила вычисления производной n-го порядка
- Производная суммы:
[f(x)+g(x)](n)=f(n)(x)+g(n)(x).
- Формула Лейбница (производная произведения):
, где
– число сочетаний из n по k, .
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач