Основы математического анализа


Купить Apple iPhone SE 32GB, Space Grey в интернет-магазине OZON.ru с доставкой. Смартфон Apple по лучшей цене - Выбирайте!Купить Apple iPhone SE 32GB, Space Grey в интернет-магазине OZON.ru с доставкой. Смартфон Apple за 19 088, 50 руб. - Выбирайте!
    Предел последовательности

  • Арифметическая прогрессия { an } – числовая последовательность a1, a2, … , an, n ∈ N такая, что
    n > 1, an = an-1 + d (d – разность).
    a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2 (n > 1).
    S_n={{a_1+a_n}/2}*n={{2a_1+d*(n-1)}/2}*n
  • Геометрическая прогрессия { bn } – числовая последовательность b1, b2, … , bn, n ∈ N такая, что
    b1 ≠ 0 и ∀n > 1, bn = bn-1 × q (q – знаменатель).
    {b_n}^2=b_{n-1}*b_{n+1} (n > 1)
    S_n={b_n*q-b_1}/{q-1}, q ≠ 1.
    S=lim{n{right}{infty}}{S_n}=b_1/{1-q}, если 0 < |q| < 1.
  • Основные определения
    {xn} – последовательность xn.
    xn = f(n) — формула общего члена последовательности.
    a=lim{n{right}{infty}}{x_n} — предел последовательности {xn}; если a ∈ R, последовательность {xn} называется сходящейся.
    {xn} бесконечно малая последовательность, если lim{n{right}{infty}}{x_n}=0.
    {xn} бесконечно большая последовательность, если
    ∀M > 0 ∃N = N(M): ∀n > N(M) ⇒ |xn| > M.
  • Свойства сходящихся последовательностей lim{n{right}{infty}}{x_n}=a,~lim{n{right}{infty}}{x_n}=b:
    lim{n{right}{infty}}{(x_n+y_n)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}+lim{n{right}{infty}}{y_n}=a+b;
    lim{n{right}{infty}}{(x_n-y_n)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}-lim{n{right}{infty}}{y_n}=a-b;
    lim{n{right}{infty}}{(x_n*y_n)}=(lim{n{right}{infty}}{x_n})*(lim{n{right}{infty}}{y_n})=a*b;
    lim{n{right}{infty}}{{x_n}/{y_n}}=({lim{n{right}{infty}}{x_n}})/({lim{n{right}{infty}}{y_n}})=a/b, если yn ≠ 0, b ≠ 0;
    lim{n{right}{infty}}{({x_n}+b)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}+b=a+b;
    lim{n{right}{infty}}{(C*x_n)}=C*lim{n{right}{infty}}{x_n}=C*a.
  • Если для любого n xn ≤ b, то lim{n{right}{infty}}{x_n}b.
    Если для любого n xn ≥ b, то lim{n{right}{infty}}{x_n}b.
    Если для любого n xn ≤ yn ≤ zx и lim{n{right}{infty}}{x_n}=lim{n{right}{infty}}{z_n}=a, то lim{n{right}{infty}}{y_n}=a.
    lim{n{right}{infty}}{x_n}=a~doubleleftright~x_n=a+a_n, где {an} – бесконечно малая последовательность.
  • Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (б.м.п. и б.б.п.)
    1. Б.м.п. ограничена.
    2. Сумма, разность и произведение двух б.м.п. есть также б.м.п.
    3. Произведение ограниченной последовательности на б.м.п. есть также б.м.п.
    4. Если элементы б.м.п. {xn} не равны нулю, то
    последовательность {lbrace}1/{x_n}{rbrace} – б.б.п.
    5. Если {xn} – б.б.п. и xn ≠ 0, то
    последовательность {lbrace}1/{x_n}{rbrace} – б.м.п.
  • Важные соотношения:
    e=lim{n{right}{infty}}{(1+1/n)^n},~ e{approx}2,718281828459045...~.~ pi=3,141592654...
    n!=1∙2∙3∙…∙n, формула Стирлинга: при n → ∞ n!≈sqrt{2{pi}n}(n/e)^n.
    Неравенство Бернулли: (1+α)n ≥ 1 + nα, α > -1, n ∈ N.
    Формула бинома Ньютона: (a+b)^n={a^n}{b^0}+na^{n-1}b^1+{n(n-1)}/{2!}a^{n-2}b^2+{n(n-1)(n-2)}/{3!}a^{n-3}b^3+...+
    {}+{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}/{n!}a^0b^n.
    (1+1/n)^n=1+{C_n}^1*{1/n}+{C_n}^2*{1/{n^2}}+...+1/{n^n}=
    {}=1+n*{1/n}+{{n(n-1)}/2}*{1/{n^2}}+{{n(n-1)(n-2)}/{3!}}*{1/{n^3}}+...+
    {}+{{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}/{n!}}*{1/{n^n}}.
    Предел функции

  • Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a, если для любой последовательности {xn} такой, что xnD(f), xn ≠ a, lim{n{right}{infty}}{x_n}=a, выполняется равенство lim{n{right}{infty}}{f(x_n)}=A, которое обозначают: lim{x{right}{a}}{f(x)}=A.
    Определение предела по Коши (на языке «ε — δ»). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a, если
    ε > 0 ∃δ(ε) > 0: ∀xD(f): 0 < |x − a| < δ(ε) ⇒ |f(x) − A| < ε.
    Предел функции
  • Предел функции f в точке x = a
    lim{x{right}{a}}{f(x)}=A.ε > 0 ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
  • f — бесконечно большая функция в точке x = a
    lim{x{right}{a}}{f(x)}=+{infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δf(x) > M
    lim{x{right}{a}}{f(x)}=-{infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δf(x) < M
    lim{x{right}{a}}{f(x)}={infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x)| > M
  • Предел функции f при x → ±∞
    lim{x{right}{+{infty}}}{f(x)}=A.ε > 0 ∃M(ε): ∀x: x ≥ M ⇒ |f(x) − A| < ε
    lim{x{right}{-{infty}}}{f(x)}=A.ε > 0 ∃M(ε): ∀x: x ≤ M ⇒ |f(x) − A| < ε
  • f — бесконечно большая функция при x → ±∞
    lim{x{right}{+{infty}}}{f(x)}=+{infty}.Mx0(M): ∀x: x ≥ x0f(x) > M
    lim{x{right}{+{infty}}}{f(x)}=-{infty}.Mx0(M): ∀x: x ≥ x0f(x) < M
    lim{x{right}{-{infty}}}{f(x)}=+{infty}.Mx0(M): ∀x: x ≤ x0f(x) > M
    lim{x{right}{-{infty}}}{f(x)}=-{infty}.Mx0(M): ∀x: x ≤ x0f(x) < M
    lim{x{right}{+{infty}}}{f(x)}={infty}.Mx0(M): ∀x: x ≥ x0 ⇒ |f(x)| > M
    lim{x{right}{-{infty}}}{f(x)}={infty}.Mx0(M): ∀x: x ≤ x0 ⇒ |f(x)| > M
  • Односторонние пределы справа и слева
    lim{x{right}{a+0}}{f(x)}=A.ε > ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
    lim{x{right}{a-0}}{f(x)}=A.ε > ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
  • f — бесконечно большая функция справа и слева от точки x = a
    lim{x{right}{a+0}}{f(x)}=+{infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δf(x) > M
    lim{x{right}{a-0}}{f(x)}=+{infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δf(x) > M
    lim{x{right}{a+0}}{f(x)}=-{infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δf(x) < M
    lim{x{right}{a-0}}{f(x)}=-{infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δf(x) < M
    lim{x{right}{a+0}}{f(x)}={infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ |f(x)| > M
    lim{x{right}{a-0}}{f(x)}={infty}.Mδ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ |f(x)| > M
    Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

  • Функция α(x) называется бесконечно малой в точке a, если lim{x{right}a}{alpha(x)}=0.
  • Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a, если lim{x{right}a}{f(x)}={infty}.
  • Свойства
    1. Если lim{x{right}a}{alpha(x)}=lim{x{right}a}{beta(x)}=0, то lim{x{right}a}{(alpha(x)+beta(x))}=0.
    2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.
    3. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
    4. lim{x{right}a}{f(x)}=A≠0, lim{x{right}a}{alpha(x)}=0, то lim{x{right}a}{{alpha(x)}/{f(x)}}=0.
    5. Если α(x) — бесконечно малая функция при x → a и α(x) ≠ 0 при x ≠ a, то 1/{alpha(x)} — бесконечно большая функция при x → a. Если α(x) — бесконечно большая, то 1/{alpha(x)} — бесконечно малая.
    6. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.
    7. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.
    Свойства функций, имеющих предел
    lim{x{right}x_0}{f(x)}=A~doubleleftright~f(x)=A+{alpha}(x),~lim{x{right}x_0}{alpha(x)}=0;
    lim{x{right}x_0}{varphi(x)}=B~doubleleftright~varphi(x)=B+{beta}(x),~lim{x{right}x_0}{beta(x)}=0.

  1. lim{x{right}x_0}{(f(x)+varphi(x))}=lim{x{right}x_0}{f(x)}+lim{x{right}0}{varphi(x)}, если пределы f и ϕ существуют.
  2. lim{x{right}x_0}{(f(x)*varphi(x))}=lim{x{right}x_0}{f(x)}*lim{x{right}x_0}{varphi(x)}, если пределы f и ϕ существуют.
  3. lim{x{right}x_0}{(f(x)*k)}=k*lim{x{right}x_0}{f(x)}.
  4. lim{x{right}x_0}{{f(x)}/{varphi(x)}}={lim{x{right}x_0}{f(x)}}/{lim{x{right}x_0}{varphi(x)}}, если пределы f и ϕ существуют и lim{x{right}x_0}{varphi(x)}≠0.
  5. f(x) ≤ ϕ(x) {forall}x~{in}~(x_0-{delta};~x_0+{delta})~doubleright~lim{x{right}x_0}{f(x)}lim{x{right}x_0}{varphi(x)}.
  6. {forall}x~{in}~(x_0-{delta};~x_0+{delta}) f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x), lim{x{right}x_0}{f(x)}=lim{x{right}x_0}{g(x)}=A~doubleright~{exists}lim{x{right}x_0}{varphi(x)}=A (теорема о пределе промежуточной функции).
    Замечательные пределы

  • Первый замечательный предел delim{[}{0/0}{]}:
    lim{x{right}0}{{sin(x)}/x}=1.
  • Второй замечательный предел delim{[}{1^{infty}}{]}:
    lim{x{right}{infty}}{(1+{1/x})^x}=e;~lim{t{right}0}{(1+t)^{1/t}}=e.
    Производная функции

  • Производная функции f(x) в точке x:
    y{prime}={dy}/{dx}=f{prime}(x)=lim{{Delta}x{right}0}{{Delta{y}}/{Delta{x}}}=lim{{Delta}x{right}0}{{f(x+{Delta}x)-f(x)}/{{Delta}x}}
  • Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (x0, f(x0):
    y=f(x_0)+f{prime}(x_0)(x-x_0)
  • Уравнение нормали:
    y=f(x_0)+{{-1}/{f{prime}(x_0)}}(x-x_0)
  • Правила и формулы дифференцирования:
    1) (c){prime}=0,~c=const;
    2) (f(x){pm}g(x)){prime}=f{prime}(x){pm}g{prime}(x);
    3) (c*f(x)){prime}=c*f{prime}(x);
    4) (f(x)*g(x)){prime}=f{prime}(x)*g(x)+g{prime}(x)*f(x);
    5) ({f(x)}/{g(x)}){prime}={f{prime}(x)*g(x)-g{prime}(x)*f(x)}/{g^2(x)}, g(x) ≠ 0.
  • Производная обратной функции:
    (f^{-1}(y)){prime}_{y=y_0}=1/{f{prime}(x_0)},~y_0=f(x_0)
  • Производная сложной функции:
    y=f(u),~u=varphi(x), тогда y{prime}(x)=y_u{prime}u_x{prime}
  • Логарифмическая производная:
    ln~y=ln~f(x),~delim{[}{ln~y}{]}_x{prime}={1/y}y{prime},~y{prime}=y*delim{[}{ln~y}{]}{prime}
  • Производная неявной функции:
    F(x,y(x))=0,~F_1(x,y(x),y{prime}(x))=0{doubleright}y{prime}(x)
  • Производная функции, заданной параметрически:
    y=y(x){doubleright}delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(t)~} {y} {=} {y(t)~}}}{}{doubleright}y_x{prime}={y_t{prime}}/{x_t{prime}}
    Таблица производных (с учетом u = ϕ(x))

  1. (u^{alpha}){prime}={alpha}*u^{{alpha}-1}*u{prime}.
  2. (a^u){prime}=a^u~ln~a*u{prime} (a > 0, a ≠ 1) {doubleright}(e^u){prime}=e^u*u{prime}.
  3. ({log_a}u){prime}={log_a}e*{1/u}*u{prime} (a > 0, a ≠ 1) {doubleright}(ln~u){prime}={1/u}*u{prime}.
  4. (sin~u){prime}=(cos~u)*u{prime}.
  5. (cos~u){prime}=({-}sin~u)*u{prime}.
  6. (tg~u){prime}={1/{{cos^2}u}}*u{prime}.
  7. (ctg~u){prime}=-{1/{{sin^2}u}}*u{prime}.
  8. (arcsin~u){prime}={1/{sqrt{1-u^2}}}*u{prime}.
  9. (arccos~u){prime}=-{1/{sqrt{1-u^2}}}*u{prime}.
  10. (arctg~u){prime}={1/{1+u^2}}*u{prime}.
  11. (arcctg~u){prime}=-{1/{1+u^2}}*u{prime}.
  12. (sh~u){prime}=ch~u*u{prime}. Гиперболический синус (sh~x)={e^x-e^{-x}}/2.
  13. (ch~u){prime}=sh~u*u{prime}. Гиперболический косинус (ch~x)={e^x+e^{-x}}/2.
  14. (th~u){prime}=1/{{ch^2}u}*u{prime}. Гиперболический тангенс (th~x)={sh~x}/{ch~x}.
  15. (cth~u){prime}=-{1/{{sh^2}u}}*u{prime}. Гиперболический котангенс (cth~x)={ch~x}/{sh~x}.
    Производные высших порядков

  • Производная второго порядка:
    f{prime}{prime}(x)=(f{prime}(x)){prime}.
  • Производная n-го порядка:
    f^{(n)}(x)=(f^{n-1}(x)){prime} или y^{(n)}(x)={{d^n}y}/{dx^n}.
  • Производная неявной функции:
    F(x,y(x))=0, дифференцируем по x, F_1(x,y(x) y{prime}(x))=0 doubleright y{prime}(x).
    Для отыскания второй производной соотношение F(x,y)=0 дифференцируем два раза по x, считая y функцией x,
    и выражаем y′′ как функцию y и x.
  • Производные функции, заданной параметрически:
    y=y(x){doubleright}delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x(t)~} {y} {=} {y(t)~}}}{}{doubleright}y_x{prime}={y_t{prime}}/{x_t{prime}} — первая, y{prime}{prime}_{xx}=(y{prime}_x){prime}_x={(y{prime}_x){prime}_t}/{x{prime}_t} — вторая.
    Правила вычисления производной n-го порядка

  1. Производная суммы:
    [f(x)+g(x)](n)=f(n)(x)+g(n)(x).
  2. Формула Лейбница (производная произведения):
    delim{[}{f(x)*g(x)}{]}^{(n)}=sum{k=0}{n}{{C^k}_n{f^(n-k)}(x)*g^(k)(x)}, где
    {C^k}_n={n!}/{k!(n-k)!} – число сочетаний из n по k, {n!}=n(n-1)(n-2).....3*2*1,~{0!}={1!}=1.