Решение рядов

Оставить комментарий

Формулы и уравнения рядов здесь.

Пример. Исследование на сходимость и сумма ряда.

Дано: ряд sum{n=1}{infty}{1/{(2n-1)*(2n+1)}}
Найти: сумму ряда в случае его сходимости.

Решение.

Представим члены ряда в виде суммы двух слагаемых:
a_n={1/{2(2n-1)}}-{1/{2(2n+1)}}; a_{n-1}={1/{2(2n-3)}}-{1/{2(2n-1)}};cdots;~a_3={1/10}-{1/14}; a_2={1/6}-{1/10};~a_1={1/2}-{1/6}.

Получается, что n-я частичная сумма ряда может быть записана в виде:
S_n=a_1+a_2+a_3+cdots+a_n={1/2}-{1/{2(2n+1)}}.

Отсюда следует, что lim{n{right}infty}{({1/2}-{1/{2(2n+1)}})}=1/2.

Ряд сходится. Сумма ряда равна 1/2.

Пример. Необходимый признак сходимости рядов.

Дано: ряд sum{n=1}{infty}{{2n+3}/{5n-1}}
Найти:
Проверить выполнение необходимого признака сходимости рядов.

Решение.

Необходимый признак сходимости рядов заключается в том, что если числовой ряд sum{n=1}{infty}{a_n} сходится, то lim{n{right}infty}{a_n}=0.
Как следствие, если lim{n{right}infty}{a_n} ≠ 0, то ряд sum{n=1}{infty}{a_n} расходится.

Для данного в задаче числового ряда:
lim{n{right}infty}{a_n}=lim{n{right}infty}{{2n+3}/{5n-1}}=lim{n{right}infty}{{2n}/{5n}}=2/5 ≠ 0. Ряд расходится.

Примеры. Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Дано: ряды
1) sum{n=1}{infty}{{{{sin}^2}n}/{n^3}};
2) sum{n=1}{infty}{{1+ln{n}}/{sqrt{n}}};
3) sum{n=1}{infty}{{2^n+n}/{5^n+3n}};
4) sum{n=1}{infty}{{n+3}/{root{3}{n^5+3n+sqrt{n}}}};
5) sum{n=1}{infty}{{1-cos{1/sqrt{n}}}/{3+2 root{3}{n^4}}};
6) sum{n=1}{infty}{{1+3n}/{2n^2+2ln{n}}}.
Найти:
Исследовать ряды на сходимость.

Решение.

1) Исходя из того, что sum{n=1}{infty}{{{{sin}^2}n}/{n^3}} ≤ 1/{n^3} при всех n и обобщенный гармонический ряд sum{n=1}{infty}{1/{n^3}} сходится, следует то, что ряд с меньшими членами sum{n=1}{infty}{{{{sin}^2}n}/{n^3}} сходящийся.

2) Исходя из того, что если выполняются условия: ln n ≥ 0 при n ≥ 1, то {{1+ln{n}}/{sqrt{n}}} ≥ 1/{sqrt{n}} при n ≥ 1.
Обобщенный гармонический ряд sum{n=1}{infty}{{1}/{sqrt{n}}} расходится, следовательно, ряд с большими членами sum{n=1}{infty}{{1+ln{n}}/{sqrt{n}}} также расходится.

3) Из ряда sum{n=1}{infty}{{2^n+n}/{5^n+3n}} выделим главную часть n-го члена: a_n={2^n+n}/{5^n+3n} при n→∞ ∼ {2n}/{5n}.
Заданный ряд и ряд sum{n=1}{infty}{b_n}=sum{n=1}{infty}{{2/5}^n} ведут себя одинаково, так как lim{n{right}infty}{{a_n}/{b_n}}=1.
Геометрический ряд sum{n=1}{infty}{{2/5}^n} сходится, значит, ряд sum{n=1}{infty}{{2^n+n}/{5^n+3n}} также сходится.

4) Из ряда sum{n=1}{infty}{{n+3}/{root{3}{n^5+3n+sqrt{n}}}} выделим главную часть n-го члена: a_n={n+3}/{root{3}{n^5+3n+sqrt{n}}} при n→∞ ∼ n/{n^{5/3}}=1/{n^{2/3}}.
Порядок p=2/3 < 1, поэтому ряд расходится.

5) Из ряда sum{n=1}{infty}{{1-cos{1/sqrt{n}}}/{3+2 root{3}{n^4}}} выделяем главную часть n-го члена ряда:
a_n={1-cos{1/sqrt{n}}}/{3+2 root{3}{n^4}} при n→∞ ∼ {1/{2n}}/{2n^{4/5}}=1/{4n^{9/5}}.
Порядок p=9/5 > 1, поэтому ряд сходится.

6) Из ряда sum{n=1}{infty}{{1+3n}/{2n^2+2ln{n}}} выделяем главную часть n-го члена ряда:
a_n={1+3n}/{2n^2+2ln{n}} при n→∞ ∼ {3n}/{n^2}=3/n.
Порядок p=1, поэтому ряд расходится.