Вычисление производных

Оставить комментарий

Пример. Производная суммы функций.

Дано: сумма функций (ln{x}+sin{x}).
Найти:
Вычислить производную суммы функций (ln{x}+sin{x}){prime}

Решение:
Исходя из того, что производная алгебраической суммы (разности) функций, имеющих производную, равна такой же сумме (разности) производных этих функций: (u(x){pm}v(x)){prime}=u{prime}(x){pm}v{prime}(x), используя формулы производных (ссылка), вычислим производную, заданной в условии задачи суммы функций:

(ln{x}+sin{x}){prime}=(ln{x}){prime}x+(sin{x}){prime}={1/x}+cos{x}.

Ответ: производная суммы функций равна {1/x}+cos{x}.

Пример. Производная произведения функций.

Дано: произведение функций (ln{x}*tg{x}).
Найти:
Вычислить производную произведения функций (ln{x}*tg{x}){prime}

Решение:
Исходя из того, что производная двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: (u{x}*v{x}){prime}=u{prime}(x)*v(x)+u(x)v{prime}(x), найдем производную, заданного в условии задачи произведения функций:

(ln{x}*tg{x}){prime}=(ln{x}){prime}*tg{x}+ln{x}*(tg{x}){prime}={1/x}*tg{x}+ln{x}*{1/{cos^2x}}.

Ответ: производная произведения функций равна {1/x}*tg{x}+ln{x}*{1/{cos^2x}}.

Пример. Производная отношения функций.

Дано: отношение функций ({2^x}/{x^2}).
Найти:
Вычислить производную отношения функций ({2^x}/{x^2}){prime}

Решение:
Исходя из того, что производная отношения двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: ({u(x)}/{v(x)}){prime}={u{prime}(x)*v(x)-u(x)*v{prime}(x)}/{v^2(x)}, определим производную, заданного в условии задачи отношения функций:

({2^x}/{x^2}){prime}={2^x*ln{2}*x^2+2^x*2*x}/{x^4}.

Ответ: производная отношения функций равна {2^x*ln{2}*x^2+2^x*2*x}/{x^4}.

Пример. Производная сложной функций.

Дано: сложная функция y=e^{sin{x}}.
Найти:
Вычислить производную сложной функции (y=e^{sin{x}}){prime}

Решение:
Исходя из того, что функция u=varphi(x) имеет производную в точке x_0, а функция y=f(u) имеет производную в точке u_0, причем u_0=varphi(x_0), сложная функция y=f(varphi(u)) будет иметь производную в точке x_0 и {dy}/{dx}={{dy}/{du}}*{{du}/{dx}}, в нашем случае получаем следующее y=y(u)*e^u, а u=varphi(x)=sin{x}. Тогда {dy}/{dx}=e^u, а {du}/{dx}=cos{x}, значит

{dy}/{dx}={{dy}/{du}}*{{du}/{dx}}={e^u}*cos{x}=e^{sin{x}}*cos{x}.

Ответ: производная сложной функции равна e^{sin{x}}*cos{x}.

Пример. Производная функции заданной параметрически.

Дано: функция заданная параметрически delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x}{=}{k^3-2k~}{y}{=}{k^2+3k-1~}}}{}.
Найти:
Вычислить производную функции заданной параметрически.

Решение:
Исходя из того, что производная функции, заданной параметрически, то есть в виде соотношения delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x}{=}{x(k)~}{y}{=}{y(k)~}}}{}, где k изменяется в пределах некоторого множества, определяется по формуле {dy}/{dx}={{dy}/{dk}}/{{dx}/{dk}}, вычислим производную, заданной в задаче функции:

{dy}/{dx}={{dy}/{dk}}/{{dx}/{dk}}={2k+3}/{3k^2-2}.

Производная параметрически заданной функции будет тоже функция, заданная параметрически:

delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x}{=}{k^3-2k~}{{dy}/{dx}}{=}{{2k+3}/{3k^2-2}~}}}{}.

Ответ: производная параметрически заданной функции равна delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x}{=}{k^3-2k~}{{dy}/{dx}}{=}{{2k+3}/{3k^2-2}~}}}{}.