4for1

Системы линейных уравнений

Решение систем линейных уравнений, примеры здесь.

  • Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
    Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x1, x2, …, xn}, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
    Система линейных уравненийгде aij, i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
    bi, i = 1, …, m — свободные члены;
    xj, j = 1, …, n — неизвестные.
    Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B,
    Расширенная матрица системы
    Основная матрица системы
    Х-столбец неизвестных; В-столбец свободных членов
    где (A|B) — основная матрица системы;
    A — расширенная матрица системы;
    X — столбец неизвестных;
    B — столбец свободных членов.
    Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
    Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x1 = x2 = …, xn = 0.
    Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
    Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
    Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
    Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений.
  • Системы n линейных уравнений с n неизвестными
    Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
    Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
    Правило Крамера.
    Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера: x_1={{Delta}_1}/{Delta},~x_2={{Delta}_2}/{Delta},~...,~x_n={{Delta}_n}/{Delta},
    где Δi — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i-го столбца на столбец свободных членов. Пример 9.
  • Системы m линейных уравнений с n неизвестными
    Теорема Кронекера−Капелли.
    delim{lbrace}{matrix{4}{9}{{a_{11}x_1} {+} {a_{12}x_2} {+} {...} {+} {a_{1n}x_n} {=} {b_{1},~} {a_{21}x_1} {+} {a_{22}x_2} {+} {...} {+} {a_{2n}x_n} {=} {b_{2},~} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...~} {a_{m1}x_1} {+} {a_{m2}x_2} {+} {...} {+} {a_{mn}x_n} {=} {b_{m}.~}}}{}
    Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B).
    Если rang(Α) ≠ rang(Α|B), то система заведомо не имеет решений.
    Eсли rang(Α) = rang(Α|B), то возможны два случая:
    1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
    2) rang(Α) < n − решений бесконечно много.
  • Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
    delim{lbrace}{matrix{4}{9}{{a_{11}x_1} {+} {a_{12}x_2} {+} {...} {+} {a_{1n}x_n} {=} {b_{1},~} {a_{21}x_1} {+} {a_{22}x_2} {+} {...} {+} {a_{2n}x_n} {=} {b_{2},~} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...~} {a_{m1}x_1} {+} {a_{m2}x_2} {+} {...} {+} {a_{mn}x_n} {=} {b_{m}.~}}}{}
    Составим расширенную матрицу (A|B) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей. Расширенная матрица (A|B)
    Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A|B) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
    К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
    1) перемена местами двух строк;
    2) умножение строки на число, отличное от 0;
    3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
    4) выбрасывание нулевой строки.
    Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. Пример 10.
  • Система однородных линейных уравнений.
    Однородная система имеет вид:
    delim{lbrace}{matrix{4}{9}{{a_{11}x_1} {+} {a_{12}x_2} {+} {...} {+} {a_{1n}x_n} {=} {0,~} {a_{21}x_1} {+} {a_{22}x_2} {+} {...} {+} {a_{2n}x_n} {=} {0,~} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...} {...~} {a_{m1}x_1} {+} {a_{m2}x_2} {+} {...} {+} {a_{mn}x_n} {=} {0,~}}}{}
    ей соответствует матричное уравнение A · X = 0.
    1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B), всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
    2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n, что равносильно Δ = 0.
    3) Если r < n, то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c1, c2, …, cn-r, система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
    4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
    X = c1 · X1 + c2 · X2 + … + cn-r · Xn-r,
    где решения X1, X2, …, Xn-r образуют фундаментальную систему решений.
    5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
    X(c_1,~c_2,~...,~c_{n-r})=(matrix{7}{1}{{x_1(c_1,~c_2,~...,~c_{n-r})~} {x_2(c_1,~c_2,~...,~c_{n-r})~} {.................................~} {x_r(c_1,~c_2,~...,~c_{n-r})~} {c_1~} {...~} {c_{n-r}~} {4~}}),
    если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
    Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
    Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
    Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
    Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
    Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n.
    Доказательство:
    1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
    2) r < n, т.к. если r = n, то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x1 = x2 = … = xn = 0, что противоречит условию. Значит, r(A) < n.
    Следствие. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.