Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные y′, y′′,… y(n).
Обыкновенное ДУ — это дифференциальное уравнение с одной независимой переменной.
Порядок ДУ — это порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Решение или интеграл ДУ — это всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество.
График решения — это интегральная кривая.
Основная задача интегрального исчисления — это нахождение решения ДУ.
Общее решение ДУ F(x, y, y′,…, y(n)) = 0 — это такое решение y = f(x, c1, c2, …, cn), которое содержит столько независимых произвольных постоянных ci, i = 1, 2, … n, каков порядок этого ДУ.
Общий интеграл ДУ — это общее решение заданное в неявном виде Ф(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.
Частное решение ДУ — это всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных.
Решение дифференциальных уравнений, примеры здесь
- Решение ДУ первого порядка
- — уравнение с разделяющимися переменными.
Метод решения: непосредственное интегрирование. - — однородное уравнение.
Метод решения: . - — обобщенное однородное уравнение.
Метод решения:
. - — линейное по y(x) уравнение.
Метод решения: - — линейное по x(y) уравнение.
Метод решения: - — уравнение Бернулли.
Метод решения: - — уравнение в полных дифференциалах.
Метод решения: интегрирование системы
- Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка
Метод решения: последовательное интегрирование.
Метод решения: .
Метод решения: .
Метод решения: .
Метод решения:
- Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами .
- Корни характеристического уравнения:
D>0, , действительные, разные.
Вид общего решения: . - Корни характеристического уравнения: , действительные, равные, кратность 2.
Вид общего решения: . - Корни характеристического уравнения: , комплексные.
Вид общего решения: . - Корни характеристического уравнения: .
Вид общего решения: .
- ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
- Корни характеристического уравнения: действительные, разные k1≠k2≠k3≠…≠kn.
Вид общего решения или вклад в общее решение: - Корни характеристического уравнения: действительные, кратности r≤n, k1=k2=k3=…=kr=k.
Вид общего решения или вклад в общее решение: - Корни характеристического уравнения: комплексные, разные,
α1≠α2≠…≠αn, β1≠β2≠…≠βn.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
- Корни характеристического уравнения: комплексные кратности r, k1=k2=…=kr=k=α+iβ.
Вид общего решения или вклад в общее решение:
- Решение НЛДУ y′′ + py′ + qy = f(x)
- Вид правой части:
f(x)=Pn(x).
Корни характеристического уравнения:
а) 0 – не корень;
б) 0 – корень кратности кратности r(r=1, 2).
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = Qn(x);
б) ỹ = xr×Qn(x). - Вид правой части:
f(x)=eax×Pn(x).
Корни характеристического уравнения:
а) a – не корень;
б) a – корень кратности кратности r(r=1, 2).
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = eax×Qn(x);
б) ỹ = xr×eax×Qn(x). - Вид правой части:
f(x) = A×cos βx +B×sin βx.
Корни характеристического уравнения:
а) iβ – не корень;
б) iβ – корень.
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = A1×cos βx + B1×sin βx;
б) ỹ = xr×(A1×cos βx + B1×sin βx). - Вид правой части:
f(x) = Pn(x)×cos βx + Rm(x)×sin βx.
Корни характеристического уравнения:
а) iβ – не корень;
б) iβ – корень.
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx;
б) ỹ = xr×(Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx),
где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неизвестными коэффициентами. - Вид правой части:
f(x) = eax×[Pn(x)×cos βx + Rm(x)×sin βx].
Корни характеристического уравнения:
а) a + iβ – не корень;
б) a + iβ – корень.
Вид yЧ.Н. = ỹ:
а) ỹ = eax×(Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx);
б) ỹ = xr×eax×(Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx),
где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неизвестными коэффициентами.
y = yO.O. + yЧ.Н. = ȳ + ỹ
Метод неопределенных коэффициентов
Метод вариации произвольной постоянной
, если — частные решения ОЛДУ и
Принцип суперпозиции
Если, то y = ỹ1 + ỹ2 + … + ỹn.
- Решение НЛДУ n-го порядка
- Вид правой части:
f(x) = Pn(x) — многочлен степени n.
Корни характеристического уравнения:
а) число 0 не является корнем;
б) число 0 является корнем кратности r.
Вид частного решения:
а) ỹ = Qn(x);
б) ỹ = xr×Qn(x). - Вид правой части:
f(x)=eax×Pn(x).
Корни характеристического уравнения:
а) число α не является корнем;
б) число α является корнем кратности r.
Вид частного решения:
а) ỹ = eax×Qn(x);
б) ỹ = xr×eax×Qn(x). - Вид правой части:
f(x) = A×cos βx +B×sin βx.
Корни характеристического уравнения:
а) число iβ не является корнем;
б) число iβ является корнем кратности r.
Вид частного решения:
а) ỹ = A1×cos βx + B1×sin βx;
б) ỹ = xr×(A1×cos βx + B1×sin βx). - Вид правой части:
f(x) = Pn(x)×cos βx + Rm(x)×sin βx.
Корни характеристического уравнения:
а) число iβ не является корнем;
б) число iβ является корнем кратности r.
Вид частного решения:
а) ỹ = Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx, k = max(n, m);
б) ỹ = xr×(Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx),
где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неопределенными коэффициентами. - Вид правой части:
f(x) = eax×[Pn(x)×cos βx + Rm(x)×sin βx].
Корни характеристического уравнения:
а) число α + iβ не является корнем;
б) число α + iβ является корнем кратности r.
Вид частного решения:
а) ỹ = eax×[Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx];
б) ỹ = xr×eax×[Qk(x)×cos βx + Mk(x)×sin βx],
где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неопределенными коэффициентами.
yn + a1yn-1 + a2yn-2 + … + an = f(x), yO.Н. = yO.О. + yЧ.Н.
Метод неопределенных коэффициентов
Метод вариации произвольной постоянной
.