Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные y′, y′′,… y⁽ⁿ⁾.

Обыкновенное ДУ — это дифференциальное уравнение с одной независимой переменной.

Порядок ДУ — это порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решение или интеграл ДУ — это всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество.

График решения — это интегральная кривая.

Основная задача интегрального исчисления — это нахождение решения ДУ.

Общее решение ДУ F(x, y, y′,…, y⁽ⁿ⁾) = 0 — это такое решение y = f(x, c₁, c₂, …, c_n), которое содержит столько независимых произвольных постоянных c_i, i = 1, 2, … n, каков порядок этого ДУ.

Общий интеграл ДУ — это общее решение заданное в неявном виде Ф(x, y, c₁, c₂, …, c_n) = 0.

Частное решение ДУ — это всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных.

Решение дифференциальных уравнений, примеры здесь

Решение ДУ первого порядка
1. — уравнение с разделяющимися переменными.
   Метод решения: непосредственное интегрирование.
2. — однородное уравнение.
   Метод решения: .
3. — обобщенное однородное уравнение.
   Метод решения:
   .
4. — линейное по y(x) уравнение.
   Метод решения:
5. — линейное по x(y) уравнение.
   Метод решения:
6. — уравнение Бернулли.
   Метод решения:
7. — уравнение в полных дифференциалах.
   Метод решения: интегрирование системы

Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка
1. 
   Метод решения: последовательное интегрирование.
2. 
   Метод решения: .
3. 
   Метод решения: .
4. 
   Метод решения: .
5. 
   Метод решения:

Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами .
1. Корни характеристического уравнения:
   D>0, , действительные, разные.
   Вид общего решения: .
2. Корни характеристического уравнения: , действительные, равные, кратность 2.
   Вид общего решения: .
3. Корни характеристического уравнения: , комплексные.
   Вид общего решения: .
4. Корни характеристического уравнения: .
   Вид общего решения: .

ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами


1. Корни характеристического уравнения: действительные, разные k₁≠k₂≠k₃≠…≠k_n.
   Вид общего решения или вклад в общее решение:
2. Корни характеристического уравнения: действительные, кратности r≤n, k₁=k₂=k₃=…=k_r=k.
   Вид общего решения или вклад в общее решение:
3. Корни характеристического уравнения: комплексные, разные,
   α₁≠α₂≠…≠α_n, β₁≠β₂≠…≠β_n.
   Вид общего решения или вклад в общее решение:
   
4. Корни характеристического уравнения: комплексные кратности r, k₁=k₂=…=k_r=k=α+iβ.
   Вид общего решения или вклад в общее решение:
   
   

Решение НЛДУ y′′ + py′ + qy = f(x)
y = y_O.O. + y_Ч.Н. = ȳ + ỹ
Метод неопределенных коэффициентов
1. Вид правой части:
   f(x)=P_n(x).
   Корни характеристического уравнения:
   а) 0 – не корень;
   б) 0 – корень кратности кратности r(r=1, 2).
   Вид y_Ч.Н. = ỹ:
   а) ỹ = Q_n(x);
   б) ỹ = x^r×Q_n(x).
2. Вид правой части:
   f(x)=e^ax×P_n(x).
   Корни характеристического уравнения:
   а) a – не корень;
   б) a – корень кратности кратности r(r=1, 2).
   Вид y_Ч.Н. = ỹ:
   а) ỹ = e^ax×Q_n(x);
   б) ỹ = x^r×e^ax×Q_n(x).
3. Вид правой части:
   f(x) = A×cos βx +B×sin βx.
   Корни характеристического уравнения:
   а) iβ – не корень;
   б) iβ – корень.
   Вид y_Ч.Н. = ỹ:
   а) ỹ = A₁×cos βx + B₁×sin βx;
   б) ỹ = x^r×(A₁×cos βx + B₁×sin βx).
4. Вид правой части:
   f(x) = P_n(x)×cos βx + R_m(x)×sin βx.
   Корни характеристического уравнения:
   а) iβ – не корень;
   б) iβ – корень.
   Вид y_Ч.Н. = ỹ:
   а) ỹ = Q_k(x)×cos βx + M_k(x)×sin βx;
   б) ỹ = x^r×(Q_k(x)×cos βx + M_k(x)×sin βx),
   где Q_k(x) и M_k(x) – многочлены с неизвестными коэффициентами.
5. Вид правой части:
   f(x) = e^ax×[P_n(x)×cos βx + R_m(x)×sin βx].
   Корни характеристического уравнения:
   а) a + iβ – не корень;
   б) a + iβ – корень.
   Вид y_Ч.Н. = ỹ:
   а) ỹ = e^ax×(Q_k(x)×cos βx + M_k(x)×sin βx);
   б) ỹ = x^r×e^ax×(Q_k(x)×cos βx + M_k(x)×sin βx),
   где Q_k(x) и M_k(x) – многочлены с неизвестными коэффициентами.

Метод вариации произвольной постоянной
, если — частные решения ОЛДУ и

Принцип суперпозиции
Если, то y = ỹ₁ + ỹ₂ + … + ỹ_n.

Решение НЛДУ n-го порядка
yⁿ + a₁y^n-1 + a₂y^n-2 + … + a_n = f(x), y_O.Н. = y_O.О. + y_Ч.Н.
Метод неопределенных коэффициентов
1. Вид правой части:
   f(x) = P_n(x) — многочлен степени n.
   Корни характеристического уравнения:
   а) число 0 не является корнем;
   б) число 0 является корнем кратности r.
   Вид частного решения:
   а) ỹ = Q_n(x);
   б) ỹ = x^r×Q_n(x).
2. Вид правой части:
   f(x)=e^ax×P_n(x).
   Корни характеристического уравнения:
   а) число α не является корнем;
   б) число α является корнем кратности r.
   Вид частного решения:
   а) ỹ = e^ax×Q_n(x);
   б) ỹ = x^r×e^ax×Q_n(x).
3. Вид правой части:
   f(x) = A×cos βx +B×sin βx.
   Корни характеристического уравнения:
   а) число iβ не является корнем;
   б) число iβ является корнем кратности r.
   Вид частного решения:
   а) ỹ = A₁×cos βx + B₁×sin βx;
   б) ỹ = x^r×(A₁×cos βx + B₁×sin βx).
4. Вид правой части:
   f(x) = P_n(x)×cos βx + R_m(x)×sin βx.
   Корни характеристического уравнения:
   а) число iβ не является корнем;
   б) число iβ является корнем кратности r.
   Вид частного решения:
   а) ỹ = Q_k(x)×cos βx + M_k(x)×sin βx, k = max(n, m);
   б) ỹ = x^r×(Q_k(x)×cos βx + M_k(x)×sin βx),
   где Q_k(x) и M_k(x) – многочлены с неопределенными коэффициентами.
5. Вид правой части:
   f(x) = e^ax×[P_n(x)×cos βx + R_m(x)×sin βx].
   Корни характеристического уравнения:
   а) число α + iβ не является корнем;
   б) число α + iβ является корнем кратности r.
   Вид частного решения:
   а) ỹ = e^ax×[Q_k(x)×cos βx + M_k(x)×sin βx];
   б) ỹ = x^r×e^ax×[Q_k(x)×cos βx + M_k(x)×sin βx],
   где Q_k(x) и M_k(x) – многочлены с неопределенными коэффициентами.

Метод вариации произвольной постоянной
.