4for1

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию y = f(x) и ее производные y′, y′′,… y(n).

Обыкновенное ДУ — это дифференциальное уравнение с одной независимой переменной.

Порядок ДУ — это порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Решение или интеграл ДУ — это всякая функция y = f(x), которая, будучи подставлена в ДУ, превращает его в тождество.

График решения — это интегральная кривая.

Основная задача интегрального исчисления — это нахождение решения ДУ.

Общее решение ДУ F(x, y, y′,…, y(n)) = 0 — это такое решение y = f(x, c1, c2, …, cn), которое содержит столько независимых произвольных постоянных ci, i = 1, 2, … n, каков порядок этого ДУ.

Общий интеграл ДУ — это общее решение заданное в неявном виде Ф(x, y, c1, c2, …, cn) = 0.

Частное решение ДУ — это всякое решение ДУ, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных.

Решение дифференциальных уравнений, примеры здесь

    Решение ДУ первого порядка

  1. P(x)dx+Q(y)dy=0 — уравнение с разделяющимися переменными.
    Метод решения: непосредственное интегрирование.
  2. y{prime}=f({y/x}) — однородное уравнение.
    Метод решения: u=y/x,~y=u*x,~y{prime}=u{prime}*x+u.
  3. y{prime}=f({a_1x+b_1y+c_1}/{a_2x+b_2y+c_2}) — обобщенное однородное уравнение.
    Метод решения: delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {X+{alpha},~} {y} {=} {Y+{beta};~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{a_1{alpha}+b_1{beta}+c_1} {=} {0,~} {a_2{alpha}+b_2{beta}+c_2} {=} {0;~}}}{}
    y{prime}=Y{prime}={dY}/{dX}.
  4. y{prime}=P(x)y+Q(x) — линейное по y(x) уравнение.
    Метод решения: y(x)=u(x)*{upsilon}(x),~y{prime}=u{upsilon}{prime}+u{prime}{upsilon}.
  5. x{prime}=P(y)x+Q(y) — линейное по x(y) уравнение.
    Метод решения: x(y)=u(y)*{upsilon}(y),~x{prime}=u{prime}{upsilon}+u{upsilon}{prime}.
  6. y{prime}+P(x)y=Q(x)*y^n — уравнение Бернулли.
    Метод решения: y(x)=u(x)*{upsilon}(x)
  7. P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,~ {{partial}P}/{{partial}y}={{partial}Q}/{{partial}x},~ du(x,y)=0 — уравнение в полных дифференциалах.
    Метод решения: интегрирование системы delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{{{partial}u}/{{partial}x}} {=} {P(x,y),~} {{{partial}u}/{{partial}y}} {=} {Q(x,y).~}}}{}
    Решение ДУ второго порядка, допускающих понижение порядка

  1. y{prime}{prime}=f(x)
    Метод решения: последовательное интегрирование.
  2. y{prime}{prime}=f(x,y{prime})
    Метод решения: p(x)=y{prime},~p{prime}=y{prime}{prime}.
  3. y{prime}{prime}=f(y,y{prime})
    Метод решения: y{prime}={dy}/{dx}=p(y),~y{prime}{prime}={{d^2}y}/{dx^2}={dp}/{dx}={{dp}/{dy}}*{{dy}/{dx}}={{dp}/{dy}}*p.
  4. y{prime}{prime}={y-xy{prime}}/{x^2}
    Метод решения: p=-{y/x},~p{prime}={xy{prime}-y}/{x^2}.
  5. yy{prime}{prime}+{y{prime}}^2=x
    Метод решения: p=yy{prime},~p{prime}={y{prime}}^2+y{prime}{prime}
    Решение ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y{prime}{prime}+py{prime}+qy=0,~k^2+pk+q=0.

  1. Корни характеристического уравнения:
    D>0, k_{1,2}=-{p/2}{pm}sqrt{{{p^2}/4}-q}, действительные, разные.
    Вид общего решения: y=c_1e^{{k_1}x}+c_2e^{{k_2}x}.
  2. Корни характеристического уравнения: k_1=k_2=k=-{p/2}, действительные, равные, кратность 2.
    Вид общего решения: y=(c_1+{c_2}x)e^{kx}.
  3. Корни характеристического уравнения: k_{1,2}={alpha}{pm}i{beta},~{alpha}=-{p/2},~{beta}=sqrt{q-{{p^2}/4}}, комплексные.
    Вид общего решения: y={e^{{alpha}x}}({c_1}cos{beta}x+{c_2}sin{beta}x).
  4. Корни характеристического уравнения: k_{1,2}={pm}i{beta},~{alpha}=0.
    Вид общего решения: y={c_1}cos{beta}x+{c_2}sin{beta}x.
    ОЛДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
    y^n+{a_1}y^{n-1}+{a_2}y^{n-2}+...+a_n=0,~a_i=const,
    k^n+{a_1}k^{n-2}+{a_2}k^{n-2}+...+a_n=0.

  1. Корни характеристического уравнения: действительные, разные k1≠k2≠k3≠…≠kn.
    Вид общего решения или вклад в общее решение: y={c_1}e^{{k_1}x}+{c_2}e^{{k_2}x}+...+{c_n}e^{{k_n}x}.
  2. Корни характеристического уравнения: действительные, кратности r≤n, k1=k2=k3=…=kr=k.
    Вид общего решения или вклад в общее решение: y=({c_1}+{c_2}x+{c_3}x^2+...+{c_r}x^{r-1})e^{kx}.
  3. Корни характеристического уравнения: комплексные, разные, k_1={alpha}_1+i{beta}_1,~k_2={alpha}_2+i{beta}_2,...,~k_n={alpha}_n+i{beta}_n,
    α1≠α2≠…≠αn, β1≠β2≠…≠βn.
    Вид общего решения или вклад в общее решение: y=e^{{{alpha}_1}x}({c_1}{cos{beta}_1}x+{c_2}{sin{beta}_1}x)+e^{{{alpha}_2}x}({c_3}{cos{beta}_2}x+{c_4}{sin{beta}_2}x)+{}
    {}...+e^{{{alpha}_n}x}({c_{2n-1}}{cos{beta}_n}x+{c_{2n}}{sin{beta}_n}x).
  4. Корни характеристического уравнения: комплексные кратности r, k1=k2=…=kr=k=α+iβ.
    Вид общего решения или вклад в общее решение: y=e^{{alpha}x}*{}
    {}*delim{[}{(c_1+{c_2}x+{c_3}x^2+...+{c_r}x^{r-1})cos{beta}x+}{}
    delim{}{+(c_{r+1}+{c_{r+2}}x+{c_{r+3}}x^2+...+{c_{2r}}x^{r-1})sin{beta}x}{]}
    Решение НЛДУ y′′ + py′ + qy = f(x)
    y = yO.O. + yЧ.Н. = ȳ +
    Метод неопределенных коэффициентов

  1. Вид правой части:
    f(x)=Pn(x).
    Корни характеристического уравнения:
    а) 0 – не корень;
    б) 0 – корень кратности кратности r(r=1, 2).
    Вид yЧ.Н. = :
    а) = Qn(x);
    б) = xr×Qn(x).
  2. Вид правой части:
    f(x)=eax×Pn(x).
    Корни характеристического уравнения:
    а) a – не корень;
    б) a – корень кратности кратности r(r=1, 2).
    Вид yЧ.Н. = :
    а) = eax×Qn(x);
    б) = xr×eax×Qn(x).
  3. Вид правой части:
    f(x) = A×cos βx +B×sin βx.
    Корни характеристического уравнения:
    а) – не корень;
    б) – корень.
    Вид yЧ.Н. = :
    а) = A1×cos βx + B1×sin βx;
    б) = xr×(A1×cos βx + B1×sin βx).
  4. Вид правой части:
    f(x) = Pn(xcos βx + Rm(x)×sin βx.
    Корни характеристического уравнения:
    а) – не корень;
    б) – корень.
    Вид yЧ.Н. = :
    а) = Qk(xcos βx + Mk(xsin βx;
    б) = xr×(Qk(xcos βx + Mk(xsin βx),
    где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неизвестными коэффициентами.
  5. Вид правой части:
    f(x) = eax×[Pn(xcos βx + Rm(xsin βx].
    Корни характеристического уравнения:
    а) a + iβ – не корень;
    б) a + iβ – корень.
    Вид yЧ.Н. = :
    а) = eax×(Qk(xcos βx + Mk(xsin βx);
    б) = xr×eax×(Qk(xcos βx + Mk(xsin βx),
    где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неизвестными коэффициентами.

Метод вариации произвольной постоянной
y_{O.H.}={c_1}(x)y_1+{c_2}(x)y_2, если y_1,~y_2 — частные решения ОЛДУ и delim{lbrace}{matrix{2}{5}{{c_1{prime}y_1} {+} {c_2{prime}y_2} {=} {0,~} {c_1{prime}y_1{prime}} {+} {c_2{prime}y_2{prime}} {=} {f(x).~}}}{}

Принцип суперпозиции
Еслиf(x)=f_1(x)+f_2(x)+cdots+f_n(x), то y = 1 + 2 + … + n.

    Решение НЛДУ n-го порядка
    yn + a1yn-1 + a2yn-2 + … + an = f(x), yO.Н. = yO.О. + yЧ.Н.
    Метод неопределенных коэффициентов

  1. Вид правой части:
    f(x) = Pn(x) — многочлен степени n.
    Корни характеристического уравнения:
    а) число 0 не является корнем;
    б) число 0 является корнем кратности r.
    Вид частного решения:
    а) = Qn(x);
    б) = xr×Qn(x).
  2. Вид правой части:
    f(x)=eax×Pn(x).
    Корни характеристического уравнения:
    а) число α не является корнем;
    б) число α является корнем кратности r.
    Вид частного решения:
    а) = eax×Qn(x);
    б) = xr×eax×Qn(x).
  3. Вид правой части:
    f(x) = A×cos βx +B×sin βx.
    Корни характеристического уравнения:
    а) число не является корнем;
    б) число является корнем кратности r.
    Вид частного решения:
    а) = A1×cos βx + B1×sin βx;
    б) = xr×(A1×cos βx + B1×sin βx).
  4. Вид правой части:
    f(x) = Pn(xcos βx + Rm(x)×sin βx.
    Корни характеристического уравнения:
    а) число не является корнем;
    б) число является корнем кратности r.
    Вид частного решения:
    а) = Qk(xcos βx + Mk(xsin βx, k = max(n, m);
    б) = xr×(Qk(xcos βx + Mk(xsin βx),
    где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неопределенными коэффициентами.
  5. Вид правой части:
    f(x) = eax×[Pn(xcos βx + Rm(xsin βx].
    Корни характеристического уравнения:
    а) число α + iβ не является корнем;
    б) число α + iβ является корнем кратности r.
    Вид частного решения:
    а) = eax×[Qk(xcos βx + Mk(xsin βx];
    б) = xr×eax×[Qk(xcos βx + Mk(xsin βx],
    где Qk(x) и Mk(x) – многочлены с неопределенными коэффициентами.


Метод вариации произвольной постоянной
y_{O.H.}={c_1}(x)y_1+{c_2}(x)y_2+cdots+{c_n}(x)y_n.

delim{lbrace}{matrix{4}{7}{{c_1{prime}y_1} {+} {c_2{prime}y_2} {+} {...c_n{prime}y_n} {=} {0,~} {c_1{prime}y_1{prime}} {+} {c_2{prime}y_2{prime}} {+} {...c_n{prime}y_n{prime}} {=} {0,~} {cdots} {cdots} {cdots} {cdots} {cdots}{cdots} {cdots,~} {c_1{prime}{y_1}^{n-1}} {+} {c_2{prime}{y_2}^{n-1}}  {+} {...c_n{prime}{y_n}^{n-1}} {=} {0,~}}}{}

c_1=int{}{}{{c}_1{prime} dx}, c_2=int{}{}{{c}_2{prime} dx},~{cdots}~, c_n=int{}{}{{c}_n{prime} dx}.