Примеры решения дифференциальных уравнений

Примеры решения дифференциальных уравнений

Частное решение дифференциального уравнения
Решение ДУ с разделяющимися переменными
Решение однородного ДУ первого порядка
Решение линейного ДУ первого порядка
Уравнение Бернулли

Методы решения дифференциальных уравнений здесь.

Пример. Частное решение дифференциального уравнения (ДУ)

Дано: ДУ y′′ + y = 0.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Так как (sinx)′′ = −sinx, (cosx)′′ = −cosx, функция вида $y={c_1}*sin{x}+{c_2}*cos{x};$ будет удовлетворять уравнению.

Если c₁ = 1, c₂ = 3, то $y_1=1*sin{x}+3*cos{x};$

если c₁ = 0, c₂ = -2, то $y_2=-2*cos{x}.$

Пример. Решение ДУ с разделяющимися переменными.

Дано: ДУ y{prime}=y/x.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Данное в задаче уравнение удобно записать в виде: {dy}/{dx}=y/x.

Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента: x*dy=y*dx.

Умножим правую и левую часть уравнения на 1/{y*x} .

Получим: {dy}/{y}={dx}/{x} .

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу. Тогда общий интеграл этого ДУ имеет вид:
int{}{}{{dy}/y}=int{}{}{{dx}/x}, ln|y| = ln|x| + ln|c|, где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме.

Отсюда следует: ln|y| = ln|с×x|, |y| = |с×x|, x ≠ 0.

Пример. Решение однородного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ y{prime}={y/x}*(ln{y/x}+1).
Найти: решение ДУ.

Решение:
Правая часть уравнения есть функция только отношения y/x, значит ДУ однородное.

Принимаем: y/x=u,~y=u*x . Значит y{prime}=u{prime}*x+u .

Наше уравнение приобретает вид:

y{prime}=u{prime}*x+u=u*(ln{u}+1),~u{prime}x={u}*ln{u},~{du}/{{u}*ln{u}}={dx}/x,

ln|lnu| = ln|x| + ln|c|, lnu=c×x, отсюда $u=e^{c*x}$ .

В итоге, получаем: $y=x*e^{c*x}.$

Пример. Решение линейного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ ${dy}/{dx}-{2/{x+1}}*y=(x+1)^3,$ x ≠ −1.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Принимаем: y=u*v .

Получаем: {dy}/{dx}=u*{{dv}/{dx}}+{{du}/{dx}}*v ,

$u*{{dv}/{dx}}+{{du}/{dx}}*v-{2/{x+1}}*u*v=(x+1)^3$ ,

$u*({{dv}/{dx}}-{{du}/{dx}}-{2/{x+1}}*v)+v*{{du}/{dx}}=(x+1)^3$ .

Определяем v из ДУ:
{{dv}/{dx}}-{2/{x+1}}*v=0, {dv}/v={2*dx}/{x+1},
ln|v| = 2×ln|x+1|, отсюда v=(x+1)^2 .

Находим u из ДУ:
$(x+1)^2*{{du}/{dx}}=(x+1)^3,~{du}/{dx}=(x+1),~u={(x+1)^2}/2+c$ .

Запишем общее решение ДУ: $y={(x+1)^4}/2+c*(x+1)^2$ .

Пример. Уравнение Бернулли.

Дано: ДУ ${{dy}/{dx}}+x*y={x^3}*{y^3}$ .
Найти: решение ДУ.

Решение:
Уравнение Бернулли — это ДУ вида ${{dy}/{dx}}+P(x)*y=Q(x)*{y^n},$ где P(x), Q(x) – непрерывные функции или постоянные.
При n = 0 оно линейное, при n = 1 с разделяющимися переменными.

В нашем случае $P(x)=x,~Q(x)={x^3},~n=3.$

Умножаем обе части, данного в условии задачи, уравнения на $1/{y^3}$ .

Получаем: $y^{-3}*y{prime}+x*y^{-2}={x^3}.$

Заменим: $z=y^{-n+1}=y^{-2}.$

Получим: ${dz}/{dx}=-2*y^{-3}*{{dy}/{dx}},~{{dz}/{dx}}-2*x*z=-2*{x^3}.$

Принимаем: z=u*v, {dz}/{dx}=u*{{dv}/{dx}}+v*{{du}/{dx}}, $u*{{dv}/{dx}}+v*{{du}/{dx}}-2*x*u*v=-2*{x^3},$ $u*({{dv}/{dx}}-2*x*v)+v*{{du}/{dx}}=-2*{x^3}.$