Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия на плоскости

Основные формулы

Расстояние между точками A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂)
$d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
Координаты точки С(x, y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x₁, y₁) и B (x₂, y₂), в отношении
$delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {{x_1+{lambda}*x_2}/{1+{lambda}}} {y} {=} {{y_1+{lambda}*y_2}/{1+{lambda}}}}}{}$ , λ ≠ -1
Координаты середины отрезка АВ
$x={x_1+x_2}/2;~y={y_1+y_2}/2$
Условие принадлежности трёх точек (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) одной прямой
$delim{|}{matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {1~} {x_2} {y_2} {1~} {x_3} {y_3} {1~}} }{|}=0$
Площадь треугольника с вершинами (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) (знак выбирается так, чтобы площадь была неотрицательной)
$S={pm}{1/2}delim{|}{matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {1~} {x_2} {y_2} {1~} {x_3} {y_3} {1~}} }{|}={pm}{1/2}delim{|}{matrix{2}{2}{{x_2-x_1} {y_2-y_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1~}} }{|}$

Прямая на плоскости

Общее уравнение прямой
Уравнение прямой, проходящей через точку (x₀, y₀) перпендикулярно нормальному вектору {A;B}
Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x₀, y₀) параллельно вектору {l;m}
${x-x_0}/l={y-y_0}/m$
Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x₀, y₀) параллельно вектору {l;m}
$delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x_0+lt} {y} {=} {y_0+mt}}}{}$ , t ∈ (-∞, ∞)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂)
${y-y_1}/{y_2-y_1}={x-x_1}/{x_2-x_1}$
Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где — угол наклона прямой к оси Оx
Уравнение прямой в отрезках, где (a;0) и — координаты точек пересечения прямой с осями Оx и Оy
, a ≠ 0, b ≠ 0
Нормальное уравнение прямой, где р — расстояние от начала координат до прямой, α — угол между осью Оx и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат
Нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С
${Ax+By+C}/{{pm}sqrt{A^2+B^2}}=0$
Расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой Ax+By+C=0
$d={delim{|}{{Ax_0}+{By_0}+{C}}{|}}/{sqrt{{A}^2+{B}^2}}$
Координаты точек пересечения двух прямых
A₁x+B₁y+C₁=0 и A₂x+B₂y+C₂=0
$x_0=delim{|}{matrix{3}{1}{{B_1~~C_1~} {{B_2~~C_2~}/{A_1~~B_1}~} {A_2~~B_2~}} }{|},~y_0=delim{|}{matrix{3}{1}{{C_1~~A_1~} {{C_2~~A_2}/{A_1~~B_1}~} {A_2~~B_2~}} }{|}$
Координаты точек пересечения прямых y=k₁x+b₁ и y=k₂x+b₂
$delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x_0} {=} {{b_2-b_1}/{k_1-k_2}} {y_0} {=} {{b_2k_1-b_1k_2}}/{k_1-k_2}}}{}$
Условия параллельности прямых, заданных в общем виде A₁x+B₁y+C₁=0, A₂x+B₂y+C₂=0 и в виде y=k₁x+b₁, y=k₂x+b₂
$A_1B_2-A_2B_1=0,~{k_1}={k_2}$
Условия перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A₁x+B₁y+C₁=0, A₂x+B₂y+C₂=0 и в виде y=k₁x+b₁, y=k₂x+b₂
$A_1A_2-B_1B_2=0,~{k_1}{k_2}=-1$
Острый угол α между двумя прямыми, заданными в общем виде A₁x+B₁y+C₁=0, A₂x+B₂y+C₂=0 и в виде y=k₁x+b₁, y=k₂x+b₂
$tg{alpha}=delim{|}{{A_1B_2-A_2B_1}/{A_1A_2+B_1B_2}}{|}$ ,
$tg{alpha}=delim{|}{{k_1-k_2}/{1+k_1k_2}}{|}$ ,
k₁k₂ ≠ -1, , если k₁k₂ = -1.

Аналитическая геометрия в пространстве

Плоскость в пространстве

Общее уравнение плоскости:
Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
$A(x-{x_0})+B(y-{y_0})+C(z-{z_0})=0.$
Пример 16.
Уравнение плоскости «в отрезках»:
.
Пример 17.
Нормальное уравнение плоскости (p – расстояние от начала координат до плоскости, {cos α, cosβ, cosγ} — единичный вектор нормали к плоскости):
xcosα + ycosβ + zcosγ — p = 0.
Нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D):
${{Ax}+{By}+{Cz}+D}/{{pm}sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}=0.$
Расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением:
$d={delim{|}{{Ax_0}+{By_0}+{Cz_0}+D}{|}}/{{pm}sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}=0.$
Уравнение плоскости, проходящей через три точки (i=1, 2, 3):
$delim{|}{matrix{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1}}}{|}=0.$
Угол между плоскостями ${A_i}x+{B_i}y+{C_i}z+D_i=0~(i=1,~2)$ :
${cos{varphi}}={delim{|}{{A_1}{A_1}+{B_1}{B_1}+{C_1}{C_1}}{|}}/{sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}*{sqrt{{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2}}}.$
Условие параллельности плоскостей ${A_i}x+{B_i}y+{C_i}z+D_i=0~(i=1,~2)$ :
${A_1}/{A_2}={B_1}/{B_2}={C_1}/{C_2}.$
Условие перпендикулярности плоскостей ${A_i}x+{B_i}y+{C_i}z+D_i=0~(i=1,~2)$ :
${A_1}{A_2}+{B_1}{B_2}+{C_1}{C_2}=0.$
Расстояние между двумя параллельными плоскостями
${Ax}+{By}+{Cz}+D_1=0$ и ${Ax}+{By}+{Cz}+D_2=0$ :
$d={delim{|}{D_1-D_2}{|}}/{sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}.$

Прямая в пространстве

Общие уравнения прямой
$delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{A_{1}x} {+} {B_{1}y} {+} {C_{1}z} {+} {D_1} {=} {0~} {A_{2}x} {+} {B_{2}y} {+} {C_{2}z} {+} {D_2} {=} {0~}}}{}$
Канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор {l, m, n}
${{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n}$
Уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости
$delim{lbrace}{matrix{3}{7}{{mx} {-} {ly} {+} {(ly_{0}-mx_0)} {=} {0~} {nx} {-} {mz} {+} {(mz_{0}-ny_0)} {=} {0~} {nx} {-} {lz} {+} {(lz_{0}-nx_0)} {=} {0~}}}{}$
Параметрические уравнения прямой
$delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{x} {=} {x_0} {+} {lt~} {y} {=} {y_0} {+} {mt~} {z} {=} {z_0} {+} {nt~}}}{}$
Соотношения между координатами направляющего вектора прямой и коэффициентами общих уравнений прямой
$delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{l} {=} {B_{1}C_{2}} {-} {B_{2}C_{1}~} {m} {=} {C_{1}A_{2}} {-} {C_{2}A_{1}} {n} {=} {A_{1}B_{2}} {-} {A_{2}B_{1}~}}}{}$
Канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами
${{x-x_1}/{x_2-x_1}}={{y-y_1}/{y_2-y_1}}={{z-z_1}/{z_2-z_1}}$
Угол между прямыми с направляющими векторами {l₁, m₁, n₁} и {l₂, m₂, n₂}
${cos{varphi}}={delim{|}{{l_1}{l_2}+{m_1}{m_2}+{n_1}{n_2}}{|}}/{sqrt{{l_1}^2+{m_1}^2+{n_1}^2}*{sqrt{{l_2}^2+{m_2}^2+{n_2}^2}}}.$
Условие параллельности двух прямых с направляющими векторами {l₁, m₁, n₁} и {l₂, m₂, n₂}
Условие перпендикулярности двух прямых с направляющими векторами
{l₁, m₁, n₁} и {l₂, m₂, n₂}

Прямая и плоскость в пространстве

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общими уравнениями
$delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{A_{1}x} {+} {B_{1}y} {+} {C_{1}z} {+} {D_1} {=} {0~} {A_{2}x} {+} {B_{2}y} {+} {C_{2}z} {+} {D_2} {=} {0~}}}{}$
$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+{lambda}*(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0,~{lambda}{in}{R}$
Координаты точки пересечения прямой ${{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n}$ и плоскости
$delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{x} {=} {x_0} {+} {lt_1~} {y} {=} {y_0} {+} {mt_1~} {z} {=} {z_0} {+} {nt_1~}}}{}$ , где
$t_1={Ax_0+By_0+Cz_0+D}/{Al+Bm+Cn}$
Угол между прямой ${{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n}$ и плоскостью
${sin{varphi}}={delim{|}{{Al}+{Bm}+{Cn}}{|}}/{sqrt{{A}^2+{B}^2+{C}^2}*{sqrt{{l}^2+{m}^2+{n}^2}}}.$
Условие перпендикулярности прямой ${{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n}$ и плоскости
Условие параллельности прямой ${{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n}$ и плоскости

Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач