Аналитическая геометрия на плоскости
Основные формулы
- Расстояние между точками A(x1, y1) и B(x2, y2)
- Координаты точки С(x, y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x1, y1) и B (x2, y2), в отношении
, λ ≠ -1
- Координаты середины отрезка АВ
- Условие принадлежности трёх точек (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) одной прямой
- Площадь треугольника с вершинами (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) (знак выбирается так, чтобы площадь была неотрицательной)
Прямая на плоскости
- Общее уравнение прямой
- Уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) перпендикулярно нормальному вектору {A;B}
- Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) параллельно вектору {l;m}
- Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0, y0) параллельно вектору {l;m}
, t ∈ (-∞, ∞)
- Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1, y1) и (x2, y2)
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где — угол наклона прямой к оси Оx
- Уравнение прямой в отрезках, где (a;0) и — координаты точек пересечения прямой с осями Оx и Оy
, a ≠ 0, b ≠ 0
- Нормальное уравнение прямой, где р — расстояние от начала координат до прямой, α — угол между осью Оx и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат
- Нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С
- Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax+By+C=0
- Координаты точек пересечения двух прямых
A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0
- Координаты точек пересечения прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2
- Условия параллельности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
- Условия перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
- Острый угол α между двумя прямыми, заданными в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
,
,
k1k2 ≠ -1, , если k1k2 = -1.
Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве
- Общее уравнение плоскости:
- Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :
Пример 16.
- Уравнение плоскости «в отрезках»:
.
Пример 17.
- Нормальное уравнение плоскости (p – расстояние от начала координат до плоскости, {cos α, cosβ, cosγ} — единичный вектор нормали к плоскости):
xcosα + ycosβ + zcosγ — p = 0.
- Нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D):
- Расстояние от точки до плоскости, заданной общим уравнением:
- Уравнение плоскости, проходящей через три точки (i=1, 2, 3):
- Угол между плоскостями :
- Условие параллельности плоскостей :
- Условие перпендикулярности плоскостей :
- Расстояние между двумя параллельными плоскостями
и :
Прямая в пространстве
- Общие уравнения прямой
- Канонические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор {l, m, n}
- Уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости
- Параметрические уравнения прямой
- Соотношения между координатами направляющего вектора прямой и коэффициентами общих уравнений прямой
- Канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами
- Угол между прямыми с направляющими векторами {l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
- Условие параллельности двух прямых с направляющими векторами {l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
- Условие перпендикулярности двух прямых с направляющими векторами
{l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
Прямая и плоскость в пространстве
- Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общими уравнениями
- Координаты точки пересечения прямой и плоскости
, где
- Угол между прямой и плоскостью
- Условие перпендикулярности прямой и плоскости
- Условие параллельности прямой и плоскости
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач