4for1

Кривые второго порядка

    Эллипсэллипс

  • Эллипс — геометрическое место всех точек M(x, y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1(+c, 0) и F2(-c, 0) (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2a(a > c).
    delim{|}{vec{{F_1}M}}{|}+delim{|}{vec{{F_2}M}}{|}=2a и delim{|}{vec{{F_1}F_2}}{|}=2c,~c^2=a^2-b^2
  • Каноническое уравнение эллипса
    x^2/a^2+y^2/b^2=1
  • Элементы эллипса
    Точка Оцентр;
    точки A, B, C, Dвершины;
    точки F1(+c, 0) и F2(-c, 0) — фокусы;
    2cфокусное расстояние;
    AB = 2a и CD = 2bбольшая и малая оси;
    a и b — большая и малая полуоси;
    e=c/a=sqrt{1-{{b^2}/{a^2}}},~(e<1)эксцентриситет эллипса (чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси);
    p={b^2}/aфокальный параметр (половина хорды, проведённой через фокус параллельно малой оси).
  • Уравнения правой и левой директрис: x={pm}{a/e}
    уравнения правой и левой директрис
  • Параметрические уравнения эллипса:
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {a*cost~} {y} {=} {b*sint~}}}{},
    где t — параметр, t ∈ [0, 2π);
    (t — угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси OX).
  • Уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом:
    rho={{b^2}/a}/{1-e*cos{varphi}}.
  • Эксцентриситет эллипса:
    e={sqrt{a^2-b^2}}/a.
    Окружность

  • Окружность — геометрическое место точек, равно-удаленных от точки О (центр).
    Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:
    x² + y² = R².
    Уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x0, y0):
    (x – x0)² + (y – y0)² = R².Окружность
  • Параметрические уравнения окружности с радиусом R и центром в точке (x0, y0):
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x_0+R*cost~} {y} {=} {y_0+R*sint~}}}{}
  • Уравнение окружности в полярных координатах с центром в начале координат: ρ = R.Рисунок к уравнению окружности в полярных координатах с центром в начале координат
  • Уравнение окружности с центром в точке (α0, ϕ0):
    ρ² – 2×ρ×ρ0×cos(ϕ – ϕ0) + ρ²0 = R²
    Рисунок к уравнению окружности с центром в точке (α0, ϕ0)
  • Уравнение окружности с центром в точке (a/2, 0) и радиусом a/2: ρ = a×cosϕ
    Рисунок к уравнению окружности с центром в точке (a/2, 0) и радиусом a/2
    Гипербола

  • Гипербола — геометрическое место всех точек M (x, y), для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F1(+c, 0) и F2(−c, 0) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2a (a < c).
    delim{|}{vec{{F_1}M}}{|}-delim{|}{vec{{F_2}M}}{|}=2a и delim{|}{vec{{F_1}F_2}}{|}=2c, c^2=a^2+b^2.
  • Каноническое уравнение параболы: {x^2}/{a^2}-{y^2}/{b^2}=1.
  • Элементы гиперболы:
    точка О – центр;
    точки А и В – вершины;
    точки F1(+c, 0) и F2(−c, 0) – фокусы;
    – фокусное расстояние;
    AB=2a – действительная ось гиперболы;
    CD=2b – мнимая ось гиперболы; b=c^2-a^2;
    e=c/a, (e > 1) – эксцентриситет e=sqrt{1+{{b^2}/{a^2}}};
    y={pm}(b/a)*x — асимптоты гиперболы;
    p={b^2}/a – фокальный параметр гиперболы.
  • Уравнения директрис гиперболы: x={pm}{a/e}.
  • Параметрические уравнения одной ветви гиперболы:
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {acht,~} {y} {=} {bsht,~}}}{} t ∈ (-∞, ∞)
  • Уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом:
    rho={{b^2}/{a^2}}/{1-{e}*cos{varphi}}, e={sqrt{a^2+b^2}}/a – эксцентриситет гиперболы.
    Парабола

  • Парабола — геометрическое место точек M(x, y), равноудалённых от заданной точки F(p/2, 0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).
    delim{|}{vec{FM}}{|}=delim{|}{vec{MK}}{|}.~delim{|}{vec{MK}}{|}={p/2}+x.
  • Каноническое уравнение параболы: y^2=2*p*x.
  • Элементы параболы:
    точка О — вершина;
    OX — ось параболы;
    точка F(р/2, 0) — фокус;
    x=-{p/2} — уравнение директрисы;
    e = 1 — эксцентриситет;
    p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX).
  • Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x0, y0):
    (y-y_0)^2=2*p*(x-x_0).
  • Уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом:
    rho=p/{1-cos{varphi}}.
  • Параметрические уравнения параболы:
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {t,~} {y} {=} {sqrt{2*p*t}~}}}{}, t ≥ 0.
    Уравнения вырожденных кривых второго порядка

  • Уравнения двух пересекающихся прямых:
    a^2x^2-c^2y^2=0,~ y={pm}{a/c}x
    Рисунок к уравнению двух пересекающихся прямых
  • Уравнения двух параллельных прямых:
    y^2-a^2=0,~ y={pm}{a}
    Рисунок к уравнению двух параллельных прямых
  • Уравнение двух прямых, совпадающих с осью OX: y^2=0
    Формулы преобразования координат

  • Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей в точку 0, у0):
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}+x_0,~} {y} {=} {y{prime}+y_0;~}}}{}delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}-x_0,~} {y} {=} {y{prime}-y_0.~}}}{}
  • Уравнение окружности с центром в точке O1 (x0, y0) и радиусом R:
    (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2
  • Уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке O1 (x0, y0):
    {(x-x_0)^2}/{a^2}{pm}{(y-y_0)^2}/{b^2}=1
  • Уравнения директрис эллипса и гиперболы:
    x-x_0={pm}{a/e}
  • Уравнения асимптот гиперболы:
    y-y_0={pm}{b/a}(x-x_0)
  • Уравнение параболы с вершиной в точке O1 (x0, y0):
    (y-y_0)^2=2p(x-x_0)
  • Уравнение директрисы параболы:
    x-x_0=-{p/2}
  • Формулы преобразования координат при повороте координатных осей на угол α в положительном (против часовой стрелки) направлении:
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}cos{alpha}-y{prime}sin{alpha},~} {y} {=} {x{prime}sin{alpha}+y{prime}cos{alpha};~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x{prime}} {=} {{x}cos{alpha}+{y}sin{alpha},~} {y{prime}} {=} {{-x}sin{alpha}+{y}cos{alpha}.~}}}{}
  • Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей в точку (x0, y0) и повороте их на угол α в положительном направлении:
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}cos{alpha}-y{prime}sin{alpha}+x_0,~} {y} {=} {x{prime}sin{alpha}+y{prime}cos{alpha}+y_0;~}}}{}delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {(x-x_0)cos{alpha}+(y-y_0)sin{alpha},~} {y} {=} {-(x-x_0)sin{alpha}+(y-y_0)cos{alpha}.~}}}{}
    Полярные координаты на плоскости

  • Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси.
    Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора delim{|}overline{OM}{|} = rho этой точки и углом его поворота относительно полярной оси.
    При этом 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π.
    Координаты точки в полярных координатах
  • Связь полярных координат с декартовыми
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {{rho}cos{varphi},~} {y} {=} {{rho}sin{varphi},~}}}{} {rho}=sqrt{x^2+y^2},~ tg{varphi}=y/x.
    Связь полярных координат с декартовыми
    В полярных координатах кривые второго порядка имеют уравнения
    {rho}=p/{1-e*cos{varphi}},
    если полюс находится в фокусе, полярная ось направлена из фокуса к ближайшей вершине (для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь); p – фокальный параметр, е – эксцентриситет кривой.
    Поверхности второго порядка

  • Уравнение эллипсоида
    {x^2/a^2}+{y^2/b^2}+{c^2/z^2}=1
  • Уравнение однополостного гиперболоида
    {x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=1
  • Уравнение двуполостного гиперболоида
    {x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=-1
  • Уравнение эллиптического параболоида
    {x^2/a^2}+{y^2/b^2}=pz
  • Уравнение гиперболического параболоида
    -{x^2/a^2}+{y^2/b^2}=pz
  • Уравнение конуса
    {x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=0
  • Уравнение эллиптического цилиндра
    {x^2/a^2}+{y^2/b^2}=1
  • Уравнение гиперболического цилиндра
    {x^2/a^2}-{y^2/b^2}=1
  • Уравнение параболического цилиндра
    y^2=2px, p ≠ 0