Эллипс
- Эллипс — геометрическое место всех точек M(x, y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1(+c, 0) и F2(-c, 0) (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2a(a > c).
и ![delim{|}{vec{{F_1}F_2}}{|}=2c,~c^2=a^2-b^2 delim{|}{vec{{F_1}F_2}}{|}=2c,~c^2=a^2-b^2](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_982.5_ecfadfa0368c74c3d88eeabf5d890115.png)
- Каноническое уравнение эллипса
![x^2/a^2+y^2/b^2=1 x^2/a^2+y^2/b^2=1](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_afb598f60caf092abcb08b336832f3eb.png)
- Элементы эллипса
Точка О — центр;
точки A, B, C, D — вершины;
точки F1(+c, 0) и F2(-c, 0) — фокусы;
2c — фокусное расстояние;
AB = 2a и CD = 2b — большая и малая оси;
a и b — большая и малая полуоси;
— эксцентриситет эллипса (чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси);
— фокальный параметр (половина хорды, проведённой через фокус параллельно малой оси).
- Уравнения правой и левой директрис:
![x={pm}{a/e} x={pm}{a/e}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_d53100c9ccd3c0f3233e5b57f84a6ddd.png)
![уравнения правой и левой директрис](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/07/vysshaya-matematika-ris-28.jpg)
- Параметрические уравнения эллипса:
,
где t — параметр, t ∈ [0, 2π);
(t — угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси OX).
- Уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом:
.
- Эксцентриситет эллипса:
.
Окружность
- Окружность — геометрическое место точек, равно-удаленных от точки О (центр).
Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:
x² + y² = R².
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x0, y0):
(x – x0)² + (y – y0)² = R².![Окружность](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-30.jpg)
- Параметрические уравнения окружности с радиусом R и центром в точке (x0, y0):
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x_0+R*cost~} {y} {=} {y_0+R*sint~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x_0+R*cost~} {y} {=} {y_0+R*sint~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_965.5_0a2ff5d07216bc4614071ba3911b8e48.png)
- Уравнение окружности в полярных координатах с центром в начале координат: ρ = R.
![Рисунок к уравнению окружности в полярных координатах с центром в начале координат](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-31.jpg)
- Уравнение окружности с центром в точке (α0, ϕ0):
ρ² – 2×ρ×ρ0×cos(ϕ – ϕ0) + ρ²0 = R²
![Рисунок к уравнению окружности с центром в точке (α0, ϕ0)](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-32.jpg)
- Уравнение окружности с центром в точке (a/2, 0) и радиусом a/2: ρ = a×cosϕ
![Рисунок к уравнению окружности с центром в точке (a/2, 0) и радиусом a/2](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-33.jpg)
Гипербола
- Гипербола — геометрическое место всех точек M (x, y), для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F1(+c, 0) и F2(−c, 0) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2a (a < c).
и
,
.
- Каноническое уравнение параболы:
![{x^2}/{a^2}-{y^2}/{b^2}=1. {x^2}/{a^2}-{y^2}/{b^2}=1.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_87426b2d01cfbfc37508b26984e0dc1c.png)
- Элементы гиперболы:
точка О – центр;
точки А и В – вершины;
точки F1(+c, 0) и F2(−c, 0) – фокусы;
2с – фокусное расстояние;
AB=2a – действительная ось гиперболы;
CD=2b – мнимая ось гиперболы; ![b=c^2-a^2; b=c^2-a^2;](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992.5_5bde92e22b7a53a3a7d5fd8459597ef0.png)
(e > 1) – эксцентриситет ![e=sqrt{1+{{b^2}/{a^2}}}; e=sqrt{1+{{b^2}/{a^2}}};](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_3fb1f45c5fb82342cce28da7852f87df.png)
— асимптоты гиперболы;
– фокальный параметр гиперболы.
- Уравнения директрис гиперболы:
![x={pm}{a/e}. x={pm}{a/e}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_35177caa6d57fb012d0fc0aaba1aec79.png)
- Параметрические уравнения одной ветви гиперболы:
t ∈ (-∞, ∞)
- Уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом:
– эксцентриситет гиперболы.
Парабола
- Парабола — геометрическое место точек M(x, y), равноудалённых от заданной точки F(p/2, 0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).
![delim{|}{vec{FM}}{|}=delim{|}{vec{MK}}{|}.~delim{|}{vec{MK}}{|}={p/2}+x. delim{|}{vec{FM}}{|}=delim{|}{vec{MK}}{|}.~delim{|}{vec{MK}}{|}={p/2}+x.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980.5_597b912a1e757b7b5ffac787413ccf8c.png)
- Каноническое уравнение параболы:
![y^2=2*p*x. y^2=2*p*x.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992.5_8987b434ea46f5fc9418d0b9fa4e3f80.png)
- Элементы параболы:
точка О — вершина;
OX — ось параболы;
точка F(р/2, 0) — фокус;
— уравнение директрисы;
e = 1 — эксцентриситет;
p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX).
- Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x0, y0):
![(y-y_0)^2=2*p*(x-x_0). (y-y_0)^2=2*p*(x-x_0).](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_6751c4a77197b24866a40894612fc656.png)
- Уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом:
![rho=p/{1-cos{varphi}}. rho=p/{1-cos{varphi}}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980_f53b511031db35f08d1967c1bae38e53.png)
- Параметрические уравнения параболы:
t ≥ 0.
Уравнения вырожденных кривых второго порядка
- Уравнения двух пересекающихся прямых:
![a^2x^2-c^2y^2=0,~ y={pm}{a/c}x a^2x^2-c^2y^2=0,~ y={pm}{a/c}x](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_faa580901e7e0c360faf1018b89625bc.png)
![Рисунок к уравнению двух пересекающихся прямых](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-34.jpg)
- Уравнения двух параллельных прямых:
![y^2-a^2=0,~ y={pm}{a} y^2-a^2=0,~ y={pm}{a}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992.5_2ff18fc7e2b1b7ce255ab2b8e5739f83.png)
![Рисунок к уравнению двух параллельных прямых](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-35.jpg)
- Уравнение двух прямых, совпадающих с осью OX:
![y^2=0 y^2=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992.5_a96bbf59204b476801c081065daca172.png)
Формулы преобразования координат
- Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей в точку (х0, у0):
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}+x_0,~} {y} {=} {y{prime}+y_0;~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}+x_0,~} {y} {=} {y{prime}+y_0;~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_965.5_9609b0e2d8a635d74f7aaf8e17d08abd.png)
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}-x_0,~} {y} {=} {y{prime}-y_0.~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}-x_0,~} {y} {=} {y{prime}-y_0.~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_965.5_5866c0f24676dd4006701f4d20110d00.png)
- Уравнение окружности с центром в точке O1 (x0, y0) и радиусом R:
![(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_8a14272438fce13911894fc9e53c77de.png)
- Уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке O1 (x0, y0):
![{(x-x_0)^2}/{a^2}{pm}{(y-y_0)^2}/{b^2}=1 {(x-x_0)^2}/{a^2}{pm}{(y-y_0)^2}/{b^2}=1](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_6d458e1786d7a8eb2323905ea375113a.png)
- Уравнения директрис эллипса и гиперболы:
![x-x_0={pm}{a/e} x-x_0={pm}{a/e}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_43b820554bd7125c8f138a5869f55128.png)
- Уравнения асимптот гиперболы:
![y-y_0={pm}{b/a}(x-x_0) y-y_0={pm}{b/a}(x-x_0)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_b9e1a8dd3cbb3c4ed9e20c7fac86953a.png)
- Уравнение параболы с вершиной в точке O1 (x0, y0):
![(y-y_0)^2=2p(x-x_0) (y-y_0)^2=2p(x-x_0)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_44e60f4ee6ad350a1a1029dff610cdbe.png)
- Уравнение директрисы параболы:
![x-x_0=-{p/2} x-x_0=-{p/2}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980_e9d8bea1bd0adfdffc64bbdf57269637.png)
- Формулы преобразования координат при повороте координатных осей на угол α в положительном (против часовой стрелки) направлении:
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x{prime}} {=} {{x}cos{alpha}+{y}sin{alpha},~} {y{prime}} {=} {{-x}sin{alpha}+{y}cos{alpha}.~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x{prime}} {=} {{x}cos{alpha}+{y}sin{alpha},~} {y{prime}} {=} {{-x}sin{alpha}+{y}cos{alpha}.~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_973.5_b3a4bf38374fd04a2703fbcf37623d8f.png)
- Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей в точку (x0, y0) и повороте их на угол α в положительном направлении:
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}cos{alpha}-y{prime}sin{alpha}+x_0,~} {y} {=} {x{prime}sin{alpha}+y{prime}cos{alpha}+y_0;~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}cos{alpha}-y{prime}sin{alpha}+x_0,~} {y} {=} {x{prime}sin{alpha}+y{prime}cos{alpha}+y_0;~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_965.5_be39a32df4da439f80e77ecd47ffb512.png)
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {(x-x_0)cos{alpha}+(y-y_0)sin{alpha},~} {y} {=} {-(x-x_0)sin{alpha}+(y-y_0)cos{alpha}.~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {(x-x_0)cos{alpha}+(y-y_0)sin{alpha},~} {y} {=} {-(x-x_0)sin{alpha}+(y-y_0)cos{alpha}.~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_8256e54648bd6c0d895670839b624b22.png)
Полярные координаты на плоскости
- Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси.
Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора
этой точки и углом его поворота относительно полярной оси.
При этом 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π.
![Координаты точки в полярных координатах](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-36.jpg)
- Связь полярных координат с декартовыми
.
![Связь полярных координат с декартовыми](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-37.jpg)
В полярных координатах кривые второго порядка имеют уравнения
,
если полюс находится в фокусе, полярная ось направлена из фокуса к ближайшей вершине (для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь); p – фокальный параметр, е – эксцентриситет кривой.
Поверхности второго порядка
- Уравнение эллипсоида
![{x^2/a^2}+{y^2/b^2}+{c^2/z^2}=1 {x^2/a^2}+{y^2/b^2}+{c^2/z^2}=1](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_91c76422b204727bb4b92af35f93155a.png)
- Уравнение однополостного гиперболоида
![{x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=1 {x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=1](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_fdcc7bc9a058f586a1ac306c64da335b.png)
- Уравнение двуполостного гиперболоида
![{x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=-1 {x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=-1](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_537a7b371dc866542a14204bc4fda104.png)
- Уравнение эллиптического параболоида
![{x^2/a^2}+{y^2/b^2}=pz {x^2/a^2}+{y^2/b^2}=pz](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_f4456414536b73009ca8777aff49b6e3.png)
- Уравнение гиперболического параболоида
![-{x^2/a^2}+{y^2/b^2}=pz -{x^2/a^2}+{y^2/b^2}=pz](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_0387c5df594e81bcdf25aaebe34b8b01.png)
- Уравнение конуса
![{x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=0 {x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_f714e933579a66f409a33f9e0a3c9a5b.png)
- Уравнение эллиптического цилиндра
![{x^2/a^2}+{y^2/b^2}=1 {x^2/a^2}+{y^2/b^2}=1](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_f9ba76af1841eaa2f72e1b8865fefd25.png)
- Уравнение гиперболического цилиндра
![{x^2/a^2}-{y^2/b^2}=1 {x^2/a^2}-{y^2/b^2}=1](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_777160568720892300b49a46f8eff27d.png)
- Уравнение параболического цилиндра
p ≠ 0
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач