Ряды


Примеры решения рядов здесь.

Числовые ряды

Факториал и двойные факториалы:

n{!}=1*2...(n-1)*n,

(2n){!!}=2*4*...*2*n,

(2n-1){!!}=1*3*5*...*(2*n-1),

n{!}=sqrt{2*{pi}*n}*(n/e)^n — формула Стирлинга.

Геометрическая прогрессия:

b_n=b_1*q^{n-1},~S_n={b_1*(1-q^n)}/{1-q},~S={b_1}/{1-q}, |q|<1.

Основные определения и теоремы о рядах:

{un} — заданная бесконечная числовая последовательность,

sum{n=1}{infty}{u_n}=u_1+u_2+...+u_n+...числовой ряд,
unчлены ряда,
S_1=u_1,~S_2=u_1+u+2,~...,~S_n=u_1+u_2+...+u_nчастичные суммы ряда.

Сумма ряда:

{exists}S=lim{n{right}infty}{S_n} sum{n=1}{infty}{u_n} сходится, Sсумма ряда.

S_n{right}infty или overline{exists}S ряд сходится и суммы нет.

Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (но влияет на сумму).

Свойства сходящихся рядов:

{exists}sum{n=1}{infty}{u_n}=S~doubleright~sum{n=1}{infty}{Cu_n}=CS

{exists}sum{n=1}{infty}{a_n}=A,~sum{n=1}{infty}{b_n}=B~doubleright~sum{n=1}{infty}{a_n+b_n}=A{pm}B.

    Теоремы сравнения рядов с положительными членами:
    sum{n=1}{infty}{u_n},~{u_n} ≥ 0, sum{n=1}{infty}{v_n},~{v_n} ≥ 0.

  1. u_nv_n
    Если sum{n=1}{infty}{v_n} сходится, то sum{n=1}{infty}{u_n} сходится;
    если sum{n=1}{infty}{u_n} расходится, то sum{n=1}{infty}{v_n} расходится.
  2. lim{n{right}infty}{{u_n}/{v_n}}=k, vn ≠ 0, 0 < k < ∞.
    Либо и sum{n=1}{infty}{u_n}, и sum{n=1}{infty}{v_n} сходятся,
    либо и sum{n=1}{infty}{u_n}, и sum{n=1}{infty}{v_n} расходятся.
    Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами (un > 0)

  • Признак Даламбера
    Если существует lim{n{right}infty}{{u_{n+1}}/{u_n}}=l, то sum{n=1}{infty}{u_n}: сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0.
  • Признак Коши
    Если существует lim{n{right}infty}{root{n}{u_n}}=l, то sum{n=1}{infty}{u_n}: сходится, если l < 1; расходится, если l > 1; признак не дает ответа, если l = 0.
  • Интегральный признак сходимости
    1) un > 0; 2) unun+1; 3) f(x) — непрерывная невозрастающая функция, f(n) = un.
    Либо и sum{n=1}{infty}{u_n}, и int{1}{infty}{f(x)dx} сходятся,
    либо и sum{n=1}{infty}{u_n}, и int{1}{infty}{f(x)dx} расходятся.
    Знакопеременные ряды

  • Абсолютная сходимость
    Ряд sum{n=1}{infty}{delim{|}{u_n}{|}} сходится, откуда следует, что ряд sum{n=1}{infty}{u_n} сходится.
  • Условная сходимость
    Ряд sum{n=1}{infty}{delim{|}{u_n}{|}} расходится, но ряд sum{n=1}{infty}{u_n} сходится.
  • Знакочередующиеся ряды
    Ряды вида sum{n=1}{infty}{(-1)^n{u_n}} или -sum{n=1}{infty}{(-1)^n{u_n}} где un > 0.
  • Признак Лейбница (сходимости знакочередующегося ряда)
    Если 1) u1 > u2 > u3 > …, 2) lim{n{right}infty}{u_n}=0, то 1) ряд сходится; 2) его сумма S > 0, и 3) S < u1.
    Примеры числовых рядов

  1. sum{n=1}{infty}{1/{n_a}}: сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
  2. sum{n=1}{infty}{{a^n}/n}: сходится, если a < 1; расходится, если a ≥ 1.
  3. sum{n=1}{infty}{1/{n(n+1)}=1}: сходится.
  4. sum{n=0}{infty}{aq^n}=a/{1-q}: сходятся, |q| < 1; расходятся, |q| ≥ 1.
  5. sum{n=1}{infty}{1/{n{!}}},: сходится; sum{n=0}{infty}{1/{n{!}}}=e.
  6. sum{n=1}{infty}{1/{{n}ln^{a}{n}}}: сходится, если a > 1; расходится, если a ≤ 1.
  7. sum{n=1}{infty}{1/{2^{n}{n}}}=ln{2}.
  8. sum{n=1}{infty}{{(-1)^{n-1}}/n}=ln{2}: сходится условно.
  9. sum{n=1}{infty}{{(-1)^{n-1}}/{n^2}}={{pi}^2}/12: сходится абсолютно.
  10. sum{n=1}{infty}{{(-1)^{n}}/{n{!}}}=1/e: сходится абсолютно.

Функциональные ряды

Функциональный ряд – сумма вида sum{n=1}{infty}{f_n(x)},~f_n(x),~n~{in}~N,~x~{in}~D.

При x=x_0~{in}~D из функционального ряда получается числовой ряд sum{n=1}{infty}{f_n(x_0)}.

Если для x_0~{in}~D числовой ряд сходится, то точка x_0 называется точкой сходимости функционального ряда. Если в каждой точке x~{in}~D_1~{subset}~D числовые ряды сходятся, то функциональный ряд называется сходящимся в области D_1. Совокупность всех точек сходимости образует область сходимости функционального ряда.

S_k(x)=sum{n=1}{k}{f_n(x)} – частичные суммы ряда. Функциональный ряд сходится к функции f(x), если lim{k{right}{infty}}{S_k(x)}=f(x).

Равномерная сходимость

Функциональный ряд, сходящийся для всех x~{in}~D_1~{subset}~D_1 из области сходимости, называется равномерно сходящимся в этой области, если ∀ε > 0 существует не зависящий от x номер N(ε), такой, что при n > N(ε) выполняется неравенство Rn(x) < ε для всех x из области сходимости, где R_n(x)=sum{k=n+1}{infty}{f_k(x)} — остаток ряда.

Геометрический смысл равномерной сходимости:
Рисунок к теме: Геометрический смысл равномерной сходимости
если окружить график функции y = f(x) «ε-полоской», определяемой соотношением f(x)−ε > y > f(x)+ε, то графики всех частичных сумм Sk(x), начиная с достаточно большого k, ∀x ∈ [a, b] целиком лежат в этой «ε-полоске», окружающей график предельной функции y = f(x).

sum{n=1}{infty}{f_n(x)} — называется мажорируемым в области , если существует такой сходящийся числовой ряд sum{n=1}{infty}{u_n}, un > 0, что для ∀xD fn(x) ≤ un, n = 1, 2, …. Ряд sum{n=1}{infty}{u_n} называется мажорантой ряда sum{n=1}{infty}{f_n(x)}.

Признак Вейерштрасса (признак равномерной сходимости функционального ряда): функциональный ряд сходится равномерно в области сходимости, если он является мажорируемым в этой области.

Степенные ряды:
sum{n=0}{infty}{a_n(x-x_0)^n} — степенной ряд по степеням x-x_0.
При x_0=0~sum{n=0}{infty}{{a_n}{x^n}} – степенной ряд по степеням x.

Область сходимости степенного ряда:
Радиус сходимости, интервал сходимости R, x ∈ (-R, R):
R=1/{lim{n{right}{infty}}{delim{|}{{a_{n+1}}/{a_n}}{|}}}={lim{n{right}{infty}}{delim{|}{{a_n}/{a_{n+1}}}{|}}} или R=1/{lim{n{right}{infty}}{root{n}{delim{|}{a_n}{|}}}}
При |x| < R ряд сходится, при |x| > R – расходится;
в точках x = ±R – дополнительное исследование.

На интервале сходимости ряд sum{n=0}{infty}{{a_n}x^n} сходится абсолютно;
на любом отрезке из интервала сходимости он сходится равномерно.

    Свойства степенных рядов

  1. Степенной ряд sum{n=0}{infty}{{a_n}x^n} сходится равномерно на [−R′, R′]
    R′ < R, его можно почленно дифференцировать и интегрировать в интервале сходимости.
  2. {(sum{n=0}{infty}{{a_n}x^n})}{prime}=sum{n=0}{infty}{{a_n}{(x^n)_x}{prime}}, int{}{}{(sum{n=0}{infty}{{a_n}x^n})dx}=sum{n=0}{infty}{a_n}int{}{}{x^n{dx}}.
  3. Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости.
    Разложение элементарных функций в степенные ряды
    f(x)=sum{n=0}{infty}{{a_n}x^n}=f(0)+{{f{prime}(0)}/{1{!}}}*x+{{f^{n}(0)}/{n{!}}}*x^n+{cdots}

  1. e^x=1+x+{x^2}/{2{!}}+{cdots}=sum{n=0}{infty}{{x^n}/{n{!}}}, x ∈ (−∞; ∞).
  2. sh{x}={e^x-e^{-x}}/2=x+{x^3}/{3{!}}+{x^5}/{5{!}}+{cdots}+{x^{2n+1}}/{(2n+1){!}}+{cdots}=sum{n=0}{infty}{{x^{2n+1}}/{(2n+1){!}}},
    x ∈ (−∞; ∞).
  3. ch{x}={e^x+e^{-x}}/2=1+{x^2}/{2{!}}+{cdots}+{x^{2n}}/{(2n){!}}+{cdots}=sum{n=0}{infty}{{x^{2n}}/{(2n){!}}}, x ∈ (−∞; ∞).
  4. sin{x}=x-{x^3}/{3{!}}+{x^5}/{5{!}}-{cdots}=sum{n=0}{infty}{{(-1)^n}*{{x^{2n+1}}/{(2n+1){!}}}}, x ∈ (−∞; ∞).
  5. cos{x}=1-{x^2}/{2{!}}+{x^4}/{4{!}}-{x^6}/{6{!}}+{cdots}=sum{n=0}{infty}{{(-1)^n}*{{x^{2n}}/{(2n){!}}}}, x ∈ (−∞; ∞).
  6. ln(1+x)=x-{x^2}/{2{!}}+{x^3}/{3{!}}-{x^4}/{4{!}}+{cdots}=sum{n=0}{infty}{{{{(-1)^{n-1}}/{n+1}}}*x^{n+1}}=
    {}=sum{n=1}{infty}{{{{(-1)^{n-1}}/{n}}}*x^{n}}, x ∈ (−1; 1].
  7. ln(1-x)=-x-{x^2}/{2{!}}-{x^3}/{3{!}}-{x^4}/{4{!}}+{cdots}={-}sum{n=0}{infty}{{{{x^{n+1}}/{n+1}}}}=
    {}={-}sum{n=1}{infty}{{{{x^{n}}/{n}}}}, x ∈ [−1; 1).
  8. ln({1+x}/{1-x})=2*(x+{x^3}/3+{x^5}/5+{x^7}/7+{cdots})=2*sum{n=0}{infty}{{{{x^{2n+1}}/{2n+1}}}},
    x ∈ (−1; 1).
  9. arcsin{x}=x+sum{n=1}{infty}{{{1*3*5{cdots}(2n-1)}/{2*4*6{cdots}(2n-1)}}*{{{x^{2n+1}}/{2n+1}}}}, x ∈ [−1; 1].
  10. arctg{x}=x-{x^3}/{3}+{x^5}/{5}-{cdots}=sum{n=1}{infty}{{(-1)^{n-1}}*{{x^{2n-1}}/{2n-1}}}, x ∈ [−1; 1].
  11. (1+x)^m=1+sum{n=1}{infty}{{{m*(m-1){cdots}(m-n+1)}/{n{!}}}*x^n}, x ∈ (−1; 1).
  12. 1/{1+x}=1-x+x^2-x^3+{cdots}=sum{n=0}{infty}{(-1)^n*x^n}, x ∈ (−1; 1).
  13. 1/{1-x}=1+x+x^2+x^3+{cdots}=sum{n=0}{infty}{x^n}, x ∈ (−1; 1).
  14. sqrt{1+x}=1+{1/2}*x-{1/{2*4}}*x^2+{{1*3}/{2*4*6}}*x^3-{cdots}, x ∈ (−1; 1).
  15. 1/{sqrt{1+x}}=1-{1/2}*x+{{1*3}/{2*4}}*x^2-{{1*3*5}/{2*4*6}}*x^3+{cdots}, x ∈ (−1; 1].

Тригонометрические ряды

    Ряд Фурье для периодической функции с периодом 2π

  • Ряд Фурье функции f(x):
    f(x)={a_0}/2+sum{n=0}{infty}{{a_n}cos{nx}+{b_n}sin{nx}}
  • Коэффициенты Фурье:
    a_0={1/{pi}}*int{-{pi}}{pi}{f(x)dx}, a_n={1/{pi}}*int{-{pi}}{pi}{f(x)cos{nx}~dx}, b_n={1/{pi}}*int{-{pi}}{pi}{f(x)sin{nx}~dx},
    Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций с периодом 2π

  • f(-x) = f(x)
    ряд Фурье содержит только косинусы кратных дуг:
    f(x)={a_0/2}+sum{n=1}{infty}{a_n~cos{nx}}, a_0={2/{pi}}*int{0}{pi}{f(x)dx}, a_n={2/{pi}}*int{0}{pi}{f(x)cos{nx}~dx}.
  • f(-x) = -f(x)
    ряд Фурье содержит только синусы кратных дуг:
    f(x)=sum{n=1}{infty}{b_n~sin{nx}}, b_n={2/{pi}}*int{0}{pi}{f(x)sin{nx}~dx}.

Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2l, f(x+2l) = f(x):
f(x)={{a_0}/2}+sum{n=1}{infty}{({a_n}*cos{{n*{pi}}/l}*x+{b_n}*sin{{n*{pi}}/l}*x)},
где a_0={1/l}*int{-l}{l}{f(x)dx}, a_n={1/l}*int{-l}{l}{f(x)cos{{n*{pi}}/l}*xdx}, b_n={1/l}*int{-l}{l}{f(x)sin{{n*{pi}}/l}*xdx},

    Разложение в ряд Фурье непериодических функций, заданных на отрезке x ∈ [0; l] или на отрезке x ∈ [-l; l]
    Произвольная функция f(x) задана на отрезке [0; l]; на отрезок [-l; 0] она может быть продолжена произвольным образом:
    {varphi}(x)=delim{[}{matrix{2}{1}{{f(x),~x{in}delim{[}{0;~l}{]}~} {{f_1}(x),~x{in}delim{[}{-l;~0}{]}~}}}{},~{f_1}(x) – некоторая кусочно-монотонная функция.
    Наиболее часто встречающиеся продолжения:

  • f1(x)=f(-x), x ∈ [-l; 0] (четное продолжение)
    f(x)={{a_0}/2}+sum{n=1}{infty}{{a_n}*cos{{n*{pi}*x}/l}},
    где a_n={2/l}*int{0}{l}{f(x)cos{{n*{pi}*x}/l}~dx}, x ∈ [0; l] n = 0, 1, 2,…
  • f1(x) = —f(−x), x ∈ [-l; 0]
    (нечетное продолжение)
    f(x)=sum{n=1}{infty}{{b_n}*sin{{n*{pi}*x}/l}},
    где b_n={2/l}*int{0}{l}{f(x)sin{{n*{pi}*x}/l}~dx}, x ∈ [0; l] n = 1, 2,…
  • На всю действительную ось ϕ(x) продолжается периодически с периодом 2l, ϕ(x) = ϕ(x + 2l). Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье, причем в точках x = ±l выполняется условие: S(l)={{varphi}(l-0)+{varphi}(l+0)}/2, где {varphi}(l-0)=f(l-0),~{varphi}(l+0)={varphi}({-}l+0)=f({-}l+0), то есть, S(l)={f(l-0)+f({-}l+0)}/2,~S({-}l)=S(l).
    f(l-0)=lim{x{right}l-0}{f(x)} – левый предел f(x) в точке x = l,
    f(l+0)=lim{x{right}l+0}{f(x)} – правый предел f(x) в точке x = l.