Формулы и уравнения векторной алгебры

Основные определения.

Вектор (геометрический вектор) — это направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной).
На чертеже вектор обозначается стрелкой

над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка .
Вектор, фигурирующий в определении, носит название связанного, или закрепленного вектора.
Закрепленный вектор — это направленный отрезок АВ, началом которого является точка А, а концом — точка В.
Свободный вектор — это множество всех закрепленных векторов, получающихся из фиксированного закрепленного вектора с помощью параллельного переноса. Обозначается .
Если же точка приложения вектора (точка A для вектора ) может быть выбрана произвольно, вектор называется свободным.
Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор является представителем бесконечного множества связанных или скользящих векторов.
Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают:
Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны.
Длина вектора (модуль) — это расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: или
Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Например,

Алгебраические операции над векторами.

Операция сложения.
Суммой двух свободных векторов и называется свободный вектор , начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго, если совмещены конец вектора и начало вектора .
Сумма двух векторов и () — это вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).

Свойства операции сложения векторов:
1) Переместительное свойство: (коммутативность).
2) Сочетательное свойство: (ассоциативность).
3) Существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора).
Нулевой вектор порождается нулевым закрепленным вектором, то есть точкой.
4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
Правило параллелограмма (правило сложения векторов): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов и

Вычитание векторов определяется через сложение: .
Другими словами, если векторы и приложены к общему началу, то разностью векторов и будет вектор , идущий из конца вектора к концу вектора .
Операция умножения вектора на число.

Произведением вектора на число называется вектор такой, что:
1) если λ > 0, ≠ , то получается из растяжением в λ раз: ;
2) если λ < 0, ≠ , то получается из растяжением в |λ| раз и последующим отражением: ;
3) если λ = 0 или , то .
Свойства операции умножения:
1) Распределительное свойство относительно суммы чисел: $({{lambda}_1}+{{lambda}_2}){overline{a}}={{lambda}_1}{overline{a}}+{{lambda}_2}{overline{a}}$ для любых действительных ${{lambda}_1},~{{lambda}_2}$ и всех (дистрибутивность).
2) Распределительное свойство относительно суммы векторов: ${lambda}({overline{a_1}}+{overline{a_2}})={lambda}{overline{a_1}}+{lambda}{overline{a_2}}$ (дистрибутивность).
3) Сочетательное свойство числовых сомножителей: $({{lambda}_1}{{lambda}_2}){overline{a}}={{lambda}_1}({{lambda}_2}{overline{a}})$ (ассоциативность).
4) Существование единицы: .

Разложение вектора по базису.

Базис и координаты.
Базис в пространстве — это три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.
Базис на плоскости — это два неколлинеарных вектора на этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Базис на прямой — это любой ненулевой вектор этой прямой.
Теорема. Каждый вектор может быть разложен по базису в пространстве и это разложение единственно.

Другими словами, если — три некомпланарных вектора в пространстве, то любой вектор может быть записан в виде: .
Коэффициенты разложения вектора по базису — это координаты вектора в данном базисе, и в каждом базисе определяются однозначно:
.
Теорема. При сложении двух векторов ${overline{d_1}}$ и ${overline{d_2}}$ их координаты (относительно любого базиса) складываются. При умножении вектора ${overline{d_1}}$ на любое число все его координаты умножаются на это число.
Система координат в пространстве — это совокупность базиса и некоторой точки, называемой началом координат.
Радиус-вектор точки M — это вектор , идущий из начала координат в точку M.
Координаты точки — это координаты вектора .
Таким образом, координаты радиус-вектора и координаты точки M совпадают.

Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат.

Ортонормированный базис (ОНБ) — это три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.

Обозначения:
Базисные орты — это векторы .
Зафиксированная точка О – это начало координат.
Отложим от точки O векторы .
Полученная система координат — это прямоугольная декартова система координат.
Декартовы координаты вектора — это координаты любого вектора в этом базисе:

Пример 11.
Координатные оси — это прямые линии, проведенные через начало координат (точку O) по направлениям базисных векторов:
– порождает Ox;
– порождает Oy;
– порождает Oz.
Абсцисса — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Ox.
Ордината — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Oy.
Аппликата — это координата точки M (вектора ) в декартовой системе координат по оси Oz.
Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz, соответственно. Иначе:
$x=np_{OX}overline{a}=delim{|}{overline{a}}{|}cos{alpha},~y=np_{OY}overline{a}=delim{|}{overline{a}}{|}cos{beta},~z=np_{OZ}overline{a}=delim{|}{overline{a}}{|}cos{gamma},$
где α, β, γ – углы, которые составляет вектор с координатными осями Ox, Oy, Oz, соответственно, при этом cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . Пример 12.
Для направляющих косинусов справедливо соотношение:
$cos^2{alpha}+cos^2{beta}+cos^2{gamma}=1$
Орт направления — это вектор $overline{a_0}={overline{a}}/{delim{|}{overline{a}}{|}}=delim{lbrace}{{cos{alpha}},~{cos{beta}},~{cos{gamma}}}{rbrace}$ единичной длины данного направления.

Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов — это число где
Выражение скалярного произведения в декартовых координатах:
$({overline{a}}*{overline{b}})={a_x}{b_x}+{a_y}{b_y}+{a_z}{b_z}$
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1) ;
2) ;
3) ;
4) — не нулевой вектор и , если — нулевой вектор.
Длина вектора :
${delim{|}{overline{a}}{|}}=sqrt{({overline{a}}*{overline{a}})}=sqrt{{{a^2}_x}+{{a^2}_y}+{{a^2}_z}}$
Пример 13.
Косинус угла между векторами:
Проекция вектора на вектор :
${{np}_{overline{b}}}overline{a}={(overline{a}*overline{b})}/{delim{|}{overline{b}}{|}}={delim{|}{overline{a}}{|}}*cos(hat{overline{a},~overline{b}})$
Условие перпендикулярности ненулевых векторов и :
Векторное произведение векторов :
1) модуль где
2)
3) тройка векторов — правая.
Алгебраические свойства векторного произведения:
1)
2)
3)
4)
Выражение векторного произведения в декартовых координатах:
$delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}=delim{|}{matrix{3}{3}{{overline{i}} {overline{j}} {overline{k}} {a_x} {a_y} {a_z} {b_x} {b_y} {c_z}}}{|}.$
Геометрические свойства векторного произведения:
1) Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна:
$S_{nap}=delim{|}{delim{[}{overline{a}*overline{b}}{]}}{|}.$
2) Условие коллинеарности ненулевых векторов и :
Двойное векторное произведение векторов:
Смешанное произведение векторов:

$overline{a}~overline{b}~overline{c}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_x} {a_y} {a_z} {b_x} {b_y} {b_z} {c_x} {c_y} {c_z}}}{|}.$
Объем параллелепипеда:
Пример 14.
Объем пирамиды:
Пример 15.
Условие компланарности :