Формулы и уравнения теории поля

Cкалярное поле
u=u(x,y,z), где u(x,y,z) — скалярная функция, называемая функцией поля.
Производная по направлению
Производная скалярного поля в точке u(x,y,z) P(x,y,z) по направлению вектора
(обозначение ):

определяет скорость изменения поля в направлении вектора .
Градиент скалярного поля
Оператор Гамильтона, или символический вектор «набла»
∇ =
Выражение ∇u(x,y,z) вида понимается как результат действия оператора на соответствующую функцию: grad u = ∇u.
Правила действий с оператором «набла»
1. Если оператор ∇ действует на какое-либо произведение, то вначале используются его дифференциальные, а затем векторные свойства.
2. Чтобы отметить тот факт, что «набла» не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину помечают индексом c (const).
3. Все величины, на которые оператор «набла» не действует, в окончательном варианте ставятся впереди него.
Связь градиента и производной по направлению
= (∇u $*vec{l_0}$ )= |∇u| $*delim{|}{vec{l_0}}{|}*cos{varphi}=delim{|}{grad~u}{|}*cos{varphi}.$
Свойства градиента
1. ∇(u + v) = ∇u + ∇v.
2. ∇(u ⋅ v) = (∇u)v + u(∇v).
3. ∇(c ⋅ u) = c∇u, c = const.
4. ∇f(u) = f_u′ ⋅ ∇u — градиент сложной функции.
5. ∇f(u, v) = f_u′ ⋅ ∇u + f_v′ ⋅ ∇v.
Векторное поле
$vec{a}={a_x}{vec{i}}+{a_y}{vec{j}}+{a_z}{vec{k}},$ где
Векторные линии. Уравнения векторных линий
Векторная линия поля — это кривая, в каждой точке которой вектор $vec{a}=delim{lbrace}{a_x; a_y; a_z}{rbrace}$ направлен по касательной к этой кривой.
Уравнения векторных линий: ${dx}/{a_x}={dy}/{a_y}={dz}/{a_z}.$