- Примеры решения дифференциальных уравнений
- Частное решение дифференциального уравнения
- Решение ДУ с разделяющимися переменными
- Решение однородного ДУ первого порядка
- Решение линейного ДУ первого порядка
- Уравнение Бернулли
Методы решения дифференциальных уравнений здесь.
Пример. Частное решение дифференциального уравнения (ДУ)
Дано: ДУ y′′ + y = 0.
Найти: решение ДУ.
Решение:
Так как (sinx)′′ = −sinx, (cosx)′′ = −cosx, функция вида будет удовлетворять уравнению.
Если c1 = 1, c2 = 3, то
если c1 = 0, c2 = -2, то
Пример. Решение ДУ с разделяющимися переменными.
Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.
Решение:
Данное в задаче уравнение удобно записать в виде:
Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента:
Умножим правую и левую часть уравнения на .
Получим: .
Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу. Тогда общий интеграл этого ДУ имеет вид:
ln|y| = ln|x| + ln|c|, где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме.
Отсюда следует: ln|y| = ln|с×x|, |y| = |с×x|, x ≠ 0.
Пример. Решение однородного ДУ первого порядка.
Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.
Решение:
Правая часть уравнения есть функция только отношения значит ДУ однородное.
Принимаем: . Значит .
Наше уравнение приобретает вид:
ln|lnu| = ln|x| + ln|c|, lnu=c×x, отсюда .
В итоге, получаем:
Пример. Решение линейного ДУ первого порядка.
Дано: ДУ x ≠ −1.
Найти: решение ДУ.
Решение:
Принимаем: .
Получаем: ,
,
.
Определяем v из ДУ:
ln|v| = 2×ln|x+1|, отсюда .
Находим u из ДУ:
.
Запишем общее решение ДУ: .
Пример. Уравнение Бернулли.
Дано: ДУ .
Найти: решение ДУ.
Решение:
Уравнение Бернулли — это ДУ вида где P(x), Q(x) – непрерывные функции или постоянные.
При n = 0 оно линейное, при n = 1 с разделяющимися переменными.
В нашем случае
Умножаем обе части, данного в условии задачи, уравнения на .
Получаем:
Заменим:
Получим:
Принимаем:
Получаем линейное ДУ для v:
Отсюда ln|v| = x2, .
Запишем уравнение для u:
Тогда
Сразу заменив , можно было решить уравнение Бернулли как линейное.