Формулы и уравнения математического анализа

Предел последовательности

Арифметическая прогрессия { a_n } – числовая последовательность a₁, a₂, … , a_n, n ∈ N такая, что
∀_n > 1, a_n = a_n-1 + d (d – разность).
$a_n={a_{n-1}+a_{n+1}}/2$ (n > 1).
$S_n={{a_1+a_n}/2}*n={{2a_1+d*(n-1)}/2}*n$
Геометрическая прогрессия { b_n } – числовая последовательность b₁, b₂, … , b_n, n ∈ N такая, что
b₁ ≠ 0 и ∀_n > 1, b_n = b_n-1 × q (q – знаменатель).
${b_n}^2=b_{n-1}*b_{n+1}$ (n > 1)
$S_n={b_n*q-b_1}/{q-1}$ , q ≠ 1.
$S=lim{n{right}{infty}}{S_n}=b_1/{1-q}$ , если 0 < |q| < 1.
Основные определения
{x_n} – последовательность x_n.
x_n = f(n) — формула общего члена последовательности.
$a=lim{n{right}{infty}}{x_n}$ — предел последовательности {x_n}; если a ∈ R, последовательность {x_n} называется сходящейся.
{x_n} бесконечно малая последовательность, если $lim{n{right}{infty}}{x_n}=0$ .
{x_n} бесконечно большая последовательность, если
∀M > 0 ∃N = N(M): ∀_n > N(M) ⇒ |x_n| > M.
Свойства сходящихся последовательностей $lim{n{right}{infty}}{x_n}=a,~lim{n{right}{infty}}{x_n}=b:$
$lim{n{right}{infty}}{(x_n+y_n)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}+lim{n{right}{infty}}{y_n}=a+b;$
$lim{n{right}{infty}}{(x_n-y_n)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}-lim{n{right}{infty}}{y_n}=a-b;$
$lim{n{right}{infty}}{(x_n*y_n)}=(lim{n{right}{infty}}{x_n})*(lim{n{right}{infty}}{y_n})=a*b;$
$lim{n{right}{infty}}{{x_n}/{y_n}}=({lim{n{right}{infty}}{x_n}})/({lim{n{right}{infty}}{y_n}})=a/b,$ если y_n ≠ 0, b ≠ 0;
$lim{n{right}{infty}}{({x_n}+b)}=lim{n{right}{infty}}{x_n}+b=a+b;$
$lim{n{right}{infty}}{(C*x_n)}=C*lim{n{right}{infty}}{x_n}=C*a.$
Если для любого n x_n ≤ b, то $lim{n{right}{infty}}{x_n}$ ≤ b.
Если для любого n x_n ≥ b, то $lim{n{right}{infty}}{x_n}$ ≥ b.
Если для любого n x_n ≤ y_n ≤ z_x и $lim{n{right}{infty}}{x_n}=lim{n{right}{infty}}{z_n}=a,$ то $lim{n{right}{infty}}{y_n}=a.$
$lim{n{right}{infty}}{x_n}=a~doubleleftright~x_n=a+a_n,$ где {a_n} – бесконечно малая последовательность.
Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей (б.м.п. и б.б.п.)
1. Б.м.п. ограничена.
2. Сумма, разность и произведение двух б.м.п. есть также б.м.п.
3. Произведение ограниченной последовательности на б.м.п. есть также б.м.п.
4. Если элементы б.м.п. {x_n} не равны нулю, то
последовательность ${lbrace}1/{x_n}{rbrace}$ – б.б.п.
5. Если {x_n} – б.б.п. и x_n ≠ 0, то
последовательность ${lbrace}1/{x_n}{rbrace}$ – б.м.п.
Важные соотношения:
$e=lim{n{right}{infty}}{(1+1/n)^n},~ e{approx}2,718281828459045...~.~ pi=3,141592654...$
n!=1∙2∙3∙…∙n, формула Стирлинга: при n → ∞ n!≈ $sqrt{2{pi}n}(n/e)^n.$
Неравенство Бернулли: (1+α)ⁿ ≥ 1 + nα, α > -1, n ∈ N.
Формула бинома Ньютона: $(a+b)^n={a^n}{b^0}+na^{n-1}b^1+{n(n-1)}/{2!}a^{n-2}b^2+{n(n-1)(n-2)}/{3!}a^{n-3}b^3+...+$
${}+{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}/{n!}a^0b^n.$
$(1+1/n)^n=1+{C_n}^1*{1/n}+{C_n}^2*{1/{n^2}}+...+1/{n^n}=$
${}=1+n*{1/n}+{{n(n-1)}/2}*{1/{n^2}}+{{n(n-1)(n-2)}/{3!}}*{1/{n^3}}+...+$
${}+{{n(n-1)(n-2)...(n-(n-1))}/{n!}}*{1/{n^n}}.$

Предел функции

Определение предела по Гейне (на языке последовательностей). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a, если для любой последовательности {x_n} такой, что x_n ∈ D(f), x_n ≠ a, $lim{n{right}{infty}}{x_n}=a$ , выполняется равенство $lim{n{right}{infty}}{f(x_n)}=A$ , которое обозначают: .
Определение предела по Коши (на языке «ε — δ»). Число A называется пределом функции y = f(x) в точке a, если
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0: ∀x ∈ D(f): 0 < |x − a| < δ(ε) ⇒ |f(x) − A| < ε.
Предел функции f в точке x = a
∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
f — бесконечно большая функция в точке x = a
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x)| > M
Предел функции f при x → ±∞
∀ε > 0 ∃M(ε): ∀x: x ≥ M ⇒ |f(x) − A| < ε
∀ε > 0 ∃M(ε): ∀x: x ≤ M ⇒ |f(x) − A| < ε
f — бесконечно большая функция при x → ±∞
∀M ∃x₀(M): ∀x: x ≥ x₀ ⇒ f(x) > M
∀M ∃x₀(M): ∀x: x ≥ x₀ ⇒ f(x) < M
∀M ∃x₀(M): ∀x: x ≤ x₀ ⇒ f(x) > M
∀M ∃x₀(M): ∀x: x ≤ x₀ ⇒ f(x) < M
∀M ∃x₀(M): ∀x: x ≥ x₀ ⇒ |f(x)| > M
∀M ∃x₀(M): ∀x: x ≤ x₀ ⇒ |f(x)| > M
Односторонние пределы справа и слева
∀ε > ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
∀ε > ∃δ(ε) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ |f(x) − A| < ε
f — бесконечно большая функция справа и слева от точки x = a
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ f(x) > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ f(x) < M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < x — a < δ ⇒ |f(x)| > M
∀M ∃δ(M) > 0: ∀x: 0 < a — x < δ ⇒ |f(x)| > M

Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Функция α(x) называется бесконечно малой в точке a, если
Функция f(x) называется бесконечно большой в точке a, если
Свойства
1. Если то
2. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию есть функция бесконечно малая.
3. Произведение бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая.
4. ≠0, , то
5. Если α(x) — бесконечно малая функция при x → a и α(x) ≠ 0 при x ≠ a, то — бесконечно большая функция при x → a. Если α(x) — бесконечно большая, то — бесконечно малая.
6. Произведение бесконечно большой функции на ограниченную функцию, не равную нулю, есть функция бесконечно большая.
7. Произведение бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.

Свойства функций, имеющих предел

$lim{x{right}x_0}{f(x)}=A~doubleleftright~f(x)=A+{alpha}(x),~lim{x{right}x_0}{alpha(x)}=0;$

$lim{x{right}x_0}{varphi(x)}=B~doubleleftright~varphi(x)=B+{beta}(x),~lim{x{right}x_0}{beta(x)}=0.$

$lim{x{right}x_0}{(f(x)+varphi(x))}=lim{x{right}x_0}{f(x)}+lim{x{right}0}{varphi(x)}$ , если пределы f и ϕ существуют.
$lim{x{right}x_0}{(f(x)*varphi(x))}=lim{x{right}x_0}{f(x)}*lim{x{right}x_0}{varphi(x)}$ , если пределы f и ϕ существуют.
$lim{x{right}x_0}{(f(x)*k)}=k*lim{x{right}x_0}{f(x)}$ .
$lim{x{right}x_0}{{f(x)}/{varphi(x)}}={lim{x{right}x_0}{f(x)}}/{lim{x{right}x_0}{varphi(x)}}$ , если пределы f и ϕ существуют и $lim{x{right}x_0}{varphi(x)}$ ≠0.
f(x) ≤ ϕ(x) ${forall}x~{in}~(x_0-{delta};~x_0+{delta})~doubleright~lim{x{right}x_0}{f(x)}$ ≤ $lim{x{right}x_0}{varphi(x)}.$
${forall}x~{in}~(x_0-{delta};~x_0+{delta})$ f(x) ≤ ϕ(x) ≤ g(x), $lim{x{right}x_0}{f(x)}=lim{x{right}x_0}{g(x)}=A~doubleright~{exists}lim{x{right}x_0}{varphi(x)}=A$ (теорема о пределе промежуточной функции).

Замечательные пределы

Первый замечательный предел :
Второй замечательный предел $delim{[}{1^{infty}}{]}$ :
$lim{x{right}{infty}}{(1+{1/x})^x}=e;~lim{t{right}0}{(1+t)^{1/t}}=e.$

Производная функции

Производная функции f(x) в точке x:
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке (x₀, f(x₀):
$y=f(x_0)+f{prime}(x_0)(x-x_0)$
Уравнение нормали:
$y=f(x_0)+{{-1}/{f{prime}(x_0)}}(x-x_0)$
Правила и формулы дифференцирования:
1)
2)
3)
4)
5) $({f(x)}/{g(x)}){prime}={f{prime}(x)*g(x)-g{prime}(x)*f(x)}/{g^2(x)},$ g(x) ≠ 0.
Производная обратной функции:
$(f^{-1}(y)){prime}_{y=y_0}=1/{f{prime}(x_0)},~y_0=f(x_0)$
Производная сложной функции:
тогда $y{prime}(x)=y_u{prime}u_x{prime}$
Логарифмическая производная:
$ln~y=ln~f(x),~delim{[}{ln~y}{]}_x{prime}={1/y}y{prime},~y{prime}=y*delim{[}{ln~y}{]}{prime}$
Производная неявной функции:
$F(x,y(x))=0,~F_1(x,y(x),y{prime}(x))=0{doubleright}y{prime}(x)$
Производная функции, заданной параметрически:
${doubleright}y_x{prime}={y_t{prime}}/{x_t{prime}}$

Таблица производных

u = ϕ(x)

$(u^{alpha}){prime}={alpha}*u^{{alpha}-1}*u{prime}$ .
$(a^u){prime}=a^u~ln~a*u{prime}$ (a > 0, a ≠ 1) ${doubleright}(e^u){prime}=e^u*u{prime}$ .
$({log_a}u){prime}={log_a}e*{1/u}*u{prime}$ (a > 0, a ≠ 1) .
.
.
$(tg~u){prime}={1/{{cos^2}u}}*u{prime}$ .
$(ctg~u){prime}=-{1/{{sin^2}u}}*u{prime}$ .
$(arcsin~u){prime}={1/{sqrt{1-u^2}}}*u{prime}$ .
$(arccos~u){prime}=-{1/{sqrt{1-u^2}}}*u{prime}$ .
$(arctg~u){prime}={1/{1+u^2}}*u{prime}$ .
$(arcctg~u){prime}=-{1/{1+u^2}}*u{prime}$ .
. Гиперболический синус $(sh~x)={e^x-e^{-x}}/2$ .
. Гиперболический косинус $(ch~x)={e^x+e^{-x}}/2$ .
$(th~u){prime}=1/{{ch^2}u}*u{prime}$ . Гиперболический тангенс .
$(cth~u){prime}=-{1/{{sh^2}u}}*u{prime}$ . Гиперболический котангенс .

Производные высших порядков

Производная второго порядка:
.
Производная n-го порядка:
$f^{(n)}(x)=(f^{n-1}(x)){prime}$ или $y^{(n)}(x)={{d^n}y}/{dx^n}$ .
Производная неявной функции:
, дифференцируем по x, $F_1(x,y(x) y{prime}(x))=0 doubleright y{prime}(x)$ .
Для отыскания второй производной соотношение дифференцируем два раза по x, считая y функцией x,
и выражаем y′′ как функцию y и x.
Производные функции, заданной параметрически:
${doubleright}y_x{prime}={y_t{prime}}/{x_t{prime}}$ — первая, $y{prime}{prime}_{xx}=(y{prime}_x){prime}_x={(y{prime}_x){prime}_t}/{x{prime}_t}$ — вторая.

Правила вычисления производной n-го порядка

Производная суммы:
[f(x)+g(x)]⁽ⁿ⁾=f⁽ⁿ⁾(x)+g⁽ⁿ⁾(x).
Формула Лейбница (производная произведения):
$delim{[}{f(x)*g(x)}{]}^{(n)}=sum{k=0}{n}{{C^k}_n{f^(n-k)}(x)*g^(k)(x)}$ , где
${C^k}_n={n!}/{k!(n-k)!}$ – число сочетаний из n по k, .