Методы вычисления интеграла

Оставить комментарий

Формулы и уравнения неопределенных интегралов здесь.

Пример. Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Дано: интеграл int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Решение:
Метод непосредственного интегрирования: воспользовавшись свойством линейности
int{}{}{(alpha*f(x)+beta*g(x))dx}=alpha*int{}{}{f(x)dx}+beta*int{}{}{g(x)dx}
применяя тождественные преобразования подынтегрального выражения, исходный интеграл сводится к нескольким более простым, которые могут быть вычислены непосредственно по таблице интегралов.

Используя вышеприведенное, применив основное тригонометрическое тождество {sin}^2x+{cos}^2x=1, получим следующее:

int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+{sin}^2x+{cos}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=

{}=int{}{}{{4*{cos}^2x-{sin}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}.

Далее, разделив каждое слагаемое числителя подынтегрального выражения на знаменатель и воспользовавшись таблицей интегралов от элементарных функций (ссылка) получим следующее:

int{}{}{{4*{cos}^2x-{sin}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=int{}{}{(4/{{sin}^2x}-1/{{cos}^2x})dx}=

{}=4*int{}{}{{dx}/{{sin}^2x}}-int{}{}{{dx}/{{cos}^2x}}=-4*ctg{x}-tg{x}+C

Ответ: int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=-4*ctg{x}-tg{x}+C.

Пример. Метод интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Дано: интеграл int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

Решение:
Метод интегрирования по частям: подынтегральное выражение представляем в виде произведения некоторой функции u на дифференциал другой функции dv: int{}{}{udv}. Далее, используя формулу интегрирования по частям int{}{}{udv}=uv-int{}{}{vdu}, заменяем исходный интеграл другим int{}{}{vdu}, который, как правило, более простой для вычисления.

Применим вышесказанное к нашему интегралу. Считаем u=x, тогда

dv=(5*{sin}x-7*{cos}x)dx,~du-dx,

v=int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=5*int{}{}{{sin}xdx}-7*int{}{}{{cos}xdx}=

{}=-5*{cos}xdx-7*{sin}x.

Воспользовавшись вышеприведенной формулой, в итоге получим следующее:

int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=x*(-5*{cos}x-7*{sin}x)-

-int{}{}{(-5*{cos}x-7{sin}x)dx}=x*(-5*{cos}x-7*{sin}x)+

+5*int{}{}{{cos}xdx}+7*int{}{}{{sin}xdx}=-x*(5*{cos}x+7*{sin}x)+

+5*{sin}x-7*{cos}x+C.

Ответ: int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=
{}=-x*(5*{cos}x+7*{sin}x)+5*{sin}x-7*{cos}x+C.

Пример. Метод замены переменной неопределенного интеграла.

Дано: интеграл int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}.
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.

Решение:
Метод замены переменной: вместо исходной переменной x, вводится новая переменная k, связанная с x соотношением: k=omega(x), где omega(x) — дифференцируемая функция переменной x.

Применяем вышеприведенное к нашему интегралу, обозначаем через новую переменную интегрирования k выражение, стоящее в знаменателе подинтегральной функции k=sin2x+x^3, значит, dk=(2*cos2x+3*x^2)dx. Получаем преобразованный интеграл:

int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}=int{}{}{{dk}/{k^{1/2}}}.

Вычисляем полученный интеграл по переменной k и возвращаемся к старой переменной x, с учетом того, что k=sin2x+x^3:

int{}{}{{dk}/{k^{1/2}}}={k^{1/2}}/{1/2}+C=2*sqrt{k}+C=2*sqrt{sin2x+x^3}+C.

Ответ: int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}=2*sqrt{sin2x+x^3}+C.