Виды матриц.
- Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах
![Матрица](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-1.jpg)
где aij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер столбца, на пересечении которых расположен элемент aij.
Сокращённое обозначение матрицы A=(aij)m×n.
- Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
- Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
- Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
- Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов:
![Квадратная матрица 2х2](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-2.jpg)
- Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
![Матрица-столбец](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-4-1.jpg)
- Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
![Матрица-строка](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-13.jpg)
- Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
- Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
![Единичная матрица](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-5.jpg)
- Матрица квадратная диагональная:
![Матрица квадратная диагональная](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-9.jpg)
- Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
- Матрица верхняя треугольная:
![Матрица верхняя треугольная](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-10.jpg)
- Матрица нижняя треугольная:
![Матрица нижняя треугольная](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-11.jpg)
- Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0:
![Нулевая матрица](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-12.jpg)
Операции над матрицами.
- Равенство матриц.
Две матрицы A (aij), B (bij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны,
то есть при всех i, j aij=bij.
- Сложение матриц.
Суммой двух матриц A=(aij)m×n и B=(bij) m×n одинаковых размеров называется матрица C=(cij)m×n=A+B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами cij=aij+bij. Пример 1.
- Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы A=(aij)m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(bij)m×n=λA, элементы которой определяются равенствами bij=λaij. Пример 2.
- Умножение матриц.
Произведением матрицы A=(aij)m×k на матрицу B=(bij)k×n называется матрица C=(cij)m×n=A· B размера m×n, элементы которой cij определяются равенством
cij=ai1b1j+ai2b2j+ … aikbkj.
Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Пример 3.
- Транспонированные матрицы.
Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.
Полученная матрица обозначается через A' или AT. Пример 4.
Квадратная матрица называется симметричной, если A=A', то есть для элементов выполнены равенства aij=aji.
- Обратная матрица.
Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.
Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение:
![A*A^{-1}=A^{-1}*A=E A*A^{-1}=A^{-1}*A=E](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992.5_6e18dde21152d4b40d0eab163f3e21f8.png)
Если матрица А-1 не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А-1, равная
, где АV = Aij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
1) ![(A^{-1})^{-1}=A (A^{-1})^{-1}=A](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_f5f5bc30a36075a0ddab5a0c117ec7bc.png)
2) ![{alpha}*A^{-1}={1/{alpha}}*A^{-1} {alpha}*A^{-1}={1/{alpha}}*A^{-1}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_6b87ff9bf1941275dcc37f0be1835dce.png)
3) ![(A*B)^{-1}=B^{-1}*A^{-1} (A*B)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_988_8ca3e68e4d606901d6966b9c5156768c.png)
4) ![(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1} (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_917e9a867f01dc2a38b9288f2347394d.png)
- Алгоритм нахождения А-1 заключается в следующих пунктах:
1) Находим det A, проверяем det A ≠ 0.
2) Находим Mij — все миноры матрицы A.
3) Определяем ![A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_984_551d8b60747bddcc0fcfa1630f1f613a.png)
4) Строим матрицу алгебраических дополнений
и транспонируем: ![(A^{V})^T=(A_{ij}) (A^{V})^T=(A_{ij})](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_95d104551221a8fb92ca51c510c4121c.png)
5) Делим каждый элемент матрицы на det A:
Пример 5.
- Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
- Решение матричных уравнений.
Матричное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, .
Простейшие типы матричных уравнений:
1)
. Матрица A – квадратная и невырожденная,
|A| ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица A-1.
Умножим уравнение на A-1 слева: ![A^{-1}*A*X=A^{-1}*B,~E*X=A^{-1}*B,~X=A^{-1}*B A^{-1}*A*X=A^{-1}*B,~E*X=A^{-1}*B,~X=A^{-1}*B](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992.5_26176d293813ce0b2f47c7660a20c787.png)
2)
. Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
Умножим уравнение на A-1 справа:
.
3)
. Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
Умножим уравнение на A-1 слева: ![A^{-1}*A*X*B=A^{-1}*C~{doubleright}~X*B=A^{-1}*C A^{-1}*A*X*B=A^{-1}*C~{doubleright}~X*B=A^{-1}*C](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992.5_6b1c32bb24f80f3830752bcc310d3d58.png)
Умножим уравнение на B-1 справа:
.
- Ранг матрицы.
Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров.
Mk этой матрицы: ![r=r(A)=rang A r=r(A)=rang A](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_989.5_64fad65779c1253d217e0a9849cf8f85.png)
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается
A ∼ B, если
.
Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
- Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0, тогда M1 ≠ 0 и r(A) ≥ 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, (j+1)–го столбца и (i+1)–й строки), получаем минор 2-го порядка:
.
Если M2, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1.
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr ≠ 0, но все Mr+1 = 0. Пример 6.
- Метод элементарных преобразований.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
2) Все элементы первого столбца, кроме a11, обратить в ноль с помощью элементарных преобразований строк:
![Рисунок №14 Определение ранга матрицы](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-14.jpg)
3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 ≠ 0. Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы, кроме a12 и a22, обратить в ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:
![Рисунок №15 Определение ранга мастера](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-15.jpg)
Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.
Определитель матрицы.
- Определитель квадратной матрицы.
Определитель первого порядка представляет собой число.
Определитель квадратной матрицы порядка n A=(aij)m×n обозначается символами: ![det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{4}{4}{{a_{11}} {a_{12}} {...} {a_{1n}} {a_{21}} {a_{22}} {...} {a_{2n}} {...} {...} {...} {...} {a_{n1}} {a_{n2}} {...} {a_{nm}}}}{|} det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{4}{4}{{a_{11}} {a_{12}} {...} {a_{1n}} {a_{21}} {a_{22}} {...} {a_{2n}} {...} {...} {...} {...} {a_{n1}} {a_{n2}} {...} {a_{nm}}}}{|}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_937.5_6145a116f625554263812bc4aa00bb83.png)
Определитель квадратной матрицы A второго порядка — это число, равное: ![det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{2}{2}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{21}} {a_{22}}} }{|} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12} det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{2}{2}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{21}} {a_{22}}} }{|} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_970_81a98653cf63e5853a2c5b02c5cb609f.png)
Определитель квадратной матрицы А третьего порядка — это число, равное:
![det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_f9e566e27744a271cb134712724594be.png)
. Пример 7.
- Правило треугольников (правило Саррюса):
![Определитель матрицы. Правило треугольников](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-7.jpg)
Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель, элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения — отрезками или треугольниками.
- Алгебраическое дополнение A=(aij) элемента aij — это определитель n-1 порядка, полученный из |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, взятый со знаком (-1)i+j.
Свойства определителей.
- Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |AT|=|A|.
- При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
![delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}= - delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{21}} {a_{22}} {a_{23}}{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}= - delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{21}} {a_{22}} {a_{23}}{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_4506c484eb608130a852d658e8ad257b.png)
- Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
- Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:
![delim{|}{matrix{3}{3}{{k*a_{11}} {k*a_{12}} {k*a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = k*delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|},~k=const delim{|}{matrix{3}{3}{{k*a_{11}} {k*a_{12}} {k*a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = k*delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|},~k=const](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_0c0a4c86b257d7f0add97588d1f85dd9.png)
- Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
![delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {0} {0} {0} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = 0 delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {0} {0} {0} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = 0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_955.5_3b0ed06200ef8f88a19d101c550bba01.png)
- Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
- Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
![delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}+{{a{{prime}{prime}}}_{11}}} {{a{prime}}_{12}+{{a{{prime}{prime}}}_{12}}} {{a{prime}}_{13}+{{a{{prime}{prime}}}_{13}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}= delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}+{{a{{prime}{prime}}}_{11}}} {{a{prime}}_{12}+{{a{{prime}{prime}}}_{12}}} {{a{prime}}_{13}+{{a{{prime}{prime}}}_{13}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951_e77746c87b296ad2f9b31810c9384675.png)
![{=}delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}} {{a{prime}}_{12}} {{a{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}+delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}{prime}}_{11}} {{a{prime}{prime}}_{12}} {{a{prime}{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} {=}delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}} {{a{prime}}_{12}} {{a{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}+delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}{prime}}_{11}} {{a{prime}{prime}}_{12}} {{a{prime}{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951_03866225006cb821f9bdb4f19f5c84ff.png)
- Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
![delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}+{k*a_{21}}} {a_{12}+{k*a_{22}}} {a_{13}+{k*a_{23}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}+{k*a_{21}}} {a_{12}+{k*a_{22}}} {a_{13}+{k*a_{23}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_9a3fd5280ddadd529d1a1c47344a0747.png)
- Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
![delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}={a_{i1}}{A_{i1}}+{a_{i2}}{A_{i2}}+{a_{i3}}{A_{i3}},~i=1,~2,~3 delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}={a_{i1}}{A_{i1}}+{a_{i2}}{A_{i2}}+{a_{i3}}{A_{i3}},~i=1,~2,~3](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_dc623d1112efc351b0d2daf93be19fec.png)
- Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей:
.
Определители n–го порядка.
- Минор Мij или Δij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка — это определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
![Минор Мij элемента аij](http://electrichelp.ru/wp-content/uploads/2016/06/vysshaya-matematika-ris-8.jpg)
- Алгебраическое дополнение Аij элемента аij — это его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Аij=(-1)i+jMij или Аij=(-1)i+jΔij. Пример 8.
Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.
- Правило выбора знака перед минором в алгебраическом дополнении:
![delim{|}{matrix{3}{3}{{+} {-} {+} {-} {+} {-} {+} {-} {+}} }{|} delim{|}{matrix{3}{3}{{+} {-} {+} {-} {+} {-} {+} {-} {+}} }{|}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_963.5_19fdbf5c2b26689d8e95cc94ae1ba80d.png)
- Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
- Метод сведения к треугольному виду.
Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач