Виды матриц и операции над матрицами

Виды матриц.

Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах

где a_ij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер столбца, на пересечении которых расположен элемент a_ij.
Сокращённое обозначение матрицы A=(a_ij)_m×n.
Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов:
Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
Матрица квадратная диагональная:
Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
Матрица верхняя треугольная:
Матрица нижняя треугольная:
Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0:

Операции над матрицами.

Равенство матриц.
Две матрицы A (a_ij), B (b_ij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны,
то есть при всех i, j a_ij=b_ij.
Сложение матриц.
Суммой двух матриц A=(a_ij)_m×n и B=(b_ij) _m×n одинаковых размеров называется матрица C=(c_ij)_m×n=A+B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами c_ij=a_ij+b_ij. Пример 1.
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы A=(a_ij)_m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(b_ij)_m×n=λA, элементы которой определяются равенствами b_ij=λa_ij. Пример 2.
Умножение матриц.
Произведением матрицы A=(a_ij)_m×k на матрицу B=(b_ij)_k×n называется матрица C=(c_ij)_m×n=A· B размера m×n, элементы которой c_ij определяются равенством
c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+ … a_ikb_kj.
Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Пример 3.
Транспонированные матрицы.
Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.
Полученная матрица обозначается через A' или A^T. Пример 4.
Квадратная матрица называется симметричной, если A=A', то есть для элементов выполнены равенства a_ij=a_ji.
Обратная матрица.
Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.
Матрица А^-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение:
$A*A^{-1}=A^{-1}*A=E$
Если матрица А^-1 не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А^-1, равная $A^{-1}={1/{detA}}(A^V)^T$ , где А^V = A_ij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
1) $(A^{-1})^{-1}=A$
2) ${alpha}*A^{-1}={1/{alpha}}*A^{-1}$
3) $(A*B)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}$
4) $(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$
Алгоритм нахождения А^-1 заключается в следующих пунктах:
1) Находим det A, проверяем det A ≠ 0.
2) Находим M_ij — все миноры матрицы A.
3) Определяем $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
4) Строим матрицу алгебраических дополнений $A^{V}=(A_{ij})$ и транспонируем: $(A^{V})^T=(A_{ij})$
5) Делим каждый элемент матрицы на det A: $A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T$ Пример 5.
Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
Решение матричных уравнений.
Матричное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, .
Простейшие типы матричных уравнений:
1) . Матрица A – квадратная и невырожденная,
|A| ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица A^-1.
Умножим уравнение на A^-1 слева: $A^{-1}*A*X=A^{-1}*B,~E*X=A^{-1}*B,~X=A^{-1}*B$
2) . Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
Умножим уравнение на A^-1 справа: $X*A*A^{-1}=B*A^{-1} {doubleright} X=B*A^{-1}$ .
3) . Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
Умножим уравнение на A^-1 слева: $A^{-1}*A*X*B=A^{-1}*C~{doubleright}~X*B=A^{-1}*C$
Умножим уравнение на B^-1 справа: $X*B*B^{-1}=A^{-1}*C*B^{-1}~{doubleright}~X=A^{-1}*C*B^{-1}$ .
Ранг матрицы.
Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров.
M_k этой матрицы:
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается
A ∼ B, если .
Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице A элемент a_ij ≠ 0, тогда M₁ ≠ 0 и r(A) ≥ 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, (j+1)–го столбца и (i+1)–й строки), получаем минор 2-го порядка: $M_2 = delim{|}{matrix{2}{2}{{a_{i,j}} {a_{i,j+1}} {a_{i+1,j}} {a_{i+1,j+1}}} }{|}$ .
Если M₂, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1.
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M₂ и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: M_r ≠ 0, но все M_r+1 = 0. Пример 6.
Метод элементарных преобразований.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
2) Все элементы первого столбца, кроме a₁₁, обратить в ноль с помощью элементарных преобразований строк:

3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a₂₂ ≠ 0. Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы, кроме a₁₂ и a₂₂, обратить в ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:

Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.

Определитель матрицы.

Определитель квадратной матрицы.
Определитель первого порядка представляет собой число.
Определитель квадратной матрицы порядка n A=(a_ij)_m×n обозначается символами: $det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{4}{4}{{a_{11}} {a_{12}} {...} {a_{1n}} {a_{21}} {a_{22}} {...} {a_{2n}} {...} {...} {...} {...} {a_{n1}} {a_{n2}} {...} {a_{nm}}}}{|}$
Определитель квадратной матрицы A второго порядка — это число, равное: $det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{2}{2}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{21}} {a_{22}}} }{|} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}$
Определитель квадратной матрицы А третьего порядка — это число, равное:
$det A = delim{|}{A}{|} = delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +$
${}+ a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32}$ . Пример 7.
Правило треугольников (правило Саррюса):

Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель, элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения — отрезками или треугольниками.
Алгебраическое дополнение A=(a_ij) элемента a_ij — это определитель n-1 порядка, полученный из |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij, взятый со знаком (-1)^i+j.

Свойства определителей.

Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |A^T|=|A|.
При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
$delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}= - delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{21}} {a_{22}} {a_{23}}{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}$
Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:
$delim{|}{matrix{3}{3}{{k*a_{11}} {k*a_{12}} {k*a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = k*delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|},~k=const$
Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
$delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {0} {0} {0} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = 0$
Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
$delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}+{{a{{prime}{prime}}}_{11}}} {{a{prime}}_{12}+{{a{{prime}{prime}}}_{12}}} {{a{prime}}_{13}+{{a{{prime}{prime}}}_{13}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=$
${=}delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}} {{a{prime}}_{12}} {{a{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}+delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}{prime}}_{11}} {{a{prime}{prime}}_{12}} {{a{prime}{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}$
Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
$delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}+{k*a_{21}}} {a_{12}+{k*a_{22}}} {a_{13}+{k*a_{23}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}$
Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
$delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}={a_{i1}}{A_{i1}}+{a_{i2}}{A_{i2}}+{a_{i3}}{A_{i3}},~i=1,~2,~3$
Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей:
.

Определители n–го порядка.

Минор М_ij или Δ_ij элемента а_ij ( иначе – дополнительный минор элемента а_ij) определителя n-го порядка — это определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij.
Алгебраическое дополнение А_ij элемента а_ij — это его минор со знаком (-1)^i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij, А_ij=(-1)^i+jM_ij или А_ij=(-1)^i+jΔ_ij. Пример 8.
Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.
Правило выбора знака перед минором в алгебраическом дополнении:
Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
Метод сведения к треугольному виду.
Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.

Высшая математика

Матрицы и определители

Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач