Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач
Кривые второго порядка
Эллипс
Эллипс — геометрическое место всех точек M(x, y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F1(+c, 0) и F2(-c, 0) (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2a(a > c). и
Каноническое уравнение эллипса
Элементы эллипса
Точка О — центр;
точки A, B, C, D — вершины;
точки F1(+c, 0) и F2(-c, 0) — фокусы; 2c — фокусное расстояние; AB = 2a и CD = 2b — большая и малая оси; a и b — большая и малая полуоси; — эксцентриситет эллипса (чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси); — фокальный параметр (половина хорды, проведённой через фокус параллельно малой оси).
Уравнения правой и левой директрис:
Параметрические уравнения эллипса: ,
где t — параметр, t ∈ [0, 2π);
(t — угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси OX).
Уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом: .
Эксцентриситет эллипса: .
Окружность
Окружность — геометрическое место точек, равно-удаленных от точки О (центр).
Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат: x² + y² = R².
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x0, y0): (x – x0)² + (y – y0)² = R².
Параметрические уравнения окружности с радиусом R и центром в точке (x0, y0):
Уравнение окружности в полярных координатах с центром в начале координат: ρ = R.
Уравнение окружности с центром в точке (α0, ϕ0): ρ² – 2×ρ×ρ0×cos(ϕ – ϕ0) + ρ²0 = R²
Уравнение окружности с центром в точке (a/2, 0) и радиусом a/2: ρ = a×cosϕ
Гипербола
Гипербола — геометрическое место всех точек M (x, y), для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F1(+c, 0) и F2(−c, 0) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2a (a < c). и , .
Каноническое уравнение параболы:
Элементы гиперболы:
точка О – центр;
точки А и В – вершины;
точки F1(+c, 0) и F2(−c, 0) – фокусы; 2с – фокусное расстояние; AB=2a – действительная ось гиперболы; CD=2b – мнимая ось гиперболы; (e > 1) – эксцентриситет — асимптоты гиперболы; – фокальный параметр гиперболы.
Уравнения директрис гиперболы:
Параметрические уравнения одной ветви гиперболы: t ∈ (-∞, ∞)
Уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом: – эксцентриситет гиперболы.
Парабола
Парабола — геометрическое место точек M(x, y), равноудалённых от заданной точки F(p/2, 0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы:
Элементы параболы:
точка О — вершина; OX — ось параболы;
точка F(р/2, 0) — фокус; — уравнение директрисы; e = 1 — эксцентриситет; p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX).
Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x0, y0):
Уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом:
Параметрические уравнения параболы: t ≥ 0.
Уравнения вырожденных кривых второго порядка
Уравнения двух пересекающихся прямых:
Уравнения двух параллельных прямых:
Уравнение двух прямых, совпадающих с осью OX:
Формулы преобразования координат
Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей в точку (х0, у0):
Уравнение окружности с центром в точке O1 (x0, y0) и радиусом R:
Уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке O1 (x0, y0):
Уравнения директрис эллипса и гиперболы:
Уравнения асимптот гиперболы:
Уравнение параболы с вершиной в точке O1 (x0, y0):
Уравнение директрисы параболы:
Формулы преобразования координат при повороте координатных осей на угол α в положительном (против часовой стрелки) направлении:
Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей в точку (x0, y0) и повороте их на угол α в положительном направлении:
Полярные координаты на плоскости
Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси.
Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора этой точки и углом его поворота относительно полярной оси.
При этом 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π.
Связь полярных координат с декартовыми .
В полярных координатах кривые второго порядка имеют уравнения ,
если полюс находится в фокусе, полярная ось направлена из фокуса к ближайшей вершине (для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь); p – фокальный параметр, е – эксцентриситет кривой.
и 
— эксцентриситет эллипса (чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси);
— фокальный параметр (половина хорды, проведённой через фокус параллельно малой оси).
,
.
.
и 
, 
.
(e > 1) – эксцентриситет 
— асимптоты гиперболы;
t ∈ (-∞, ∞)
– эксцентриситет гиперболы.
— уравнение директрисы;
t ≥ 0.
этой точки и углом его поворота относительно полярной оси.
.
,
p ≠ 0