Уравнения функции нескольких переменных

Частные производные сложной функции z=z(u,υ), u=u(x,y), υ=υ(x,y):
.
Полная производная функции z=z(x,y), y=y(x):
Полная производная функции z=z(x,y), x=x(t), y=y(t):
.
Дифференциалы функции z=f(x,y):

${d^2}z={{partial}^{2}z}/{{{partial}x}^2}dx^2+2{{{partial}^{2}z}/{{partial}x{partial}y}}dxdy+{{{partial}^2}z}/{{{partial}y}^2}dy^2$ .
Применение дифференциала к приближенным вычислениям:
.
Производная от функции, заданной неявно:
F(x,y)=0: ${dy}/{dx}=-{{F_x{prime}(x,y)}/{F_y{prime}(x,y)}}$
F(x,y,z)=0: ${{partial}F}/{{partial}x}=-{{F_x{prime}}/{F_z{prime}}}~{{partial}F}/{{partial}y}=-{{F_y{prime}}/{F_z{prime}}}$ .
Необходимые условия экстремума функции z=f(x,y) в точке (x₀,y₀):
$delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{{f_x}{prime}(x_0,y_0)} {=} {0,~} {{f_y}{prime}(x_0,y_0)} {=} {0.~}}}{}$ или не существуют.
Достаточные условия экстремума функции z=f(x,y) точке (x₀,y₀):
${Delta}=delim{|}{matrix{2}{2}{{{f_{xx}}{prime}{prime}} {{f_{xy}}{prime}{prime}} {{f_{yx}}{prime}{prime}} {{f_{yy}}{prime}{prime}}}}{|}_(x_0,y_0)$
максимум, если ∆>0, f_xx''<0;
минимум, если ∆>0, f_xx''>0;
экстремума нет, если ∆<0;
если ∆=0, нужно исследовать знак разности f(x,y)−f(x₀,y₀).
Условный экстремум:
$delim{lbrace}{matrix{3}{3}{{{f_x}{prime}+{lambda}{{varphi}_x}{prime}} {=} {0,~} {{f_y}{prime}+{lambda}{{varphi}_y}{prime}} {=} {0,~} {{varphi}(x,y)} {=} {0.~}}}{}$ .
Вектор-функция скалярного аргумента: ={x(t),y(t),z(t)}.
Вектор касательной: .
Уравнения касательной к линии, заданной параметрически: в точке (x₀,y₀,z₀):
${x-x_0}/{delim{}{{dx}/{dt}}{|}_{M_0}}={y-y_0}/{delim{}{{dy}/{dt}}{|}_{M_0}}={z-z_0}/{delim{}{{dz}/{dt}}{|}_{M_0}}$ .
Уравнения касательной к линии пересечения двух поверхностей $L:~delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{F_1(x,y,z)} {=} {0,~} {F_2(x,y,z)} {=} {0~}}}{}$
${x-x_0}/{delim{|}{matrix{2}{2}{{F_{1y}{prime}} {F_{1z}{prime}} {F_{2y}{prime}} {F_{2z}{prime}}}}{|}_{M_0}}={y-y_0}/{delim{|}{matrix{2}{2}{{F_{1z}{prime}} {F_{1x}{prime}} {F_{2z}{prime}} {F_{2x}{prime}}}}{|}_{M_0}}={z-z_0}/{delim{|}{matrix{2}{2}{{F_{1x}{prime}} {F_{1y}{prime}} {F_{2x}{prime}} {F_{2y}{prime}}}}{|}_{M_0}}$ .
Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M₀(x₀,y₀,z₀).
Вектор нормали:
Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M₀(x₀,y₀,z₀).
Касательная плоскость: ${delim{}{{{partial}F}/{dx}}{|}_{M_0}}(x-x_0)+{delim{}{{{partial}F}/{dy}}{|}_{M_0}}(y-y_0)+{delim{}{{{partial}F}/{dz}}{|}_{M_0}}(z-z_0)=0$ .
Поверхность задана неявно: F(x,y,z)=0, M₀(x₀,y₀,z₀).
Нормаль к поверхности: ${x-x_0}/{delim{}{{{partial}F}/{{partial}x}}{|}_{M_0}}={y-y_0}/{delim{}{{{partial}F}/{{partial}y}}{|}_{M_0}}={z-z_0}/{delim{}{{{partial}F}/{{partial}z}}{|}_{M_0}}$ .
Поверхность задана явно: z=f(x,y).
Вектор нормали:
Поверхность задана явно: z=f(x,y).
Касательная плоскость: $z-z_0={delim{}{{{partial}f}/{dx}}{|}_{M_0}}(x-x_0)+{delim{}{{{partial}f}/{dy}}{|}_{M_0}}(y-y_0)$ .
Поверхность задана явно: z=f(x,y).
Нормаль к поверхности: ${x-x_0}/{delim{}{-{{partial}f}/{{partial}x}}{|}_{M_0}}={y-y_0}/{delim{}{-{{partial}f}/{{partial}y}}{|}_{M_0}}={z-z_0}/1$ .