Сборник задач по математике | Высшая математика

Примеры решения интегралов

Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла
Метод интегрирования по частям неопределенного интеграла
Метод замены переменной неопределенного интеграла

Формулы и уравнения неопределенных интегралов здесь.

Пример. Метод непосредственного интегрирования неопределенного интеграла.

Дано: интеграл $int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}$
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Решение:
Метод непосредственного интегрирования: воспользовавшись свойством линейности
int{}{}{(alpha*f(x)+beta*g(x))dx}=alpha*int{}{}{f(x)dx}+beta*int{}{}{g(x)dx}
применяя тождественные преобразования подынтегрального выражения, исходный интеграл сводится к нескольким более простым, которые могут быть вычислены непосредственно по таблице интегралов.

Используя вышеприведенное, применив основное тригонометрическое тождество ${sin}^2x+{cos}^2x=1$ , получим следующее:

$int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+{sin}^2x+{cos}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=$

${}=int{}{}{{4*{cos}^2x-{sin}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}.$

Далее, разделив каждое слагаемое числителя подынтегрального выражения на знаменатель и воспользовавшись таблицей интегралов от элементарных функций (ссылка) получим следующее:

$int{}{}{{4*{cos}^2x-{sin}^2x}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=int{}{}{(4/{{sin}^2x}-1/{{cos}^2x})dx}=$

${}=4*int{}{}{{dx}/{{sin}^2x}}-int{}{}{{dx}/{{cos}^2x}}=-4*ctg{x}-tg{x}+C$

Ответ: $int{}{}{{3*{cos}^2x-2*{sin}^2x+1}/{{sin}^2x*{cos}^2x}dx}=-4*ctg{x}-tg{x}+C.$

Пример. Метод интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Дано: интеграл int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом интегрирования по частям.

Решение:
Метод интегрирования по частям: подынтегральное выражение представляем в виде произведения некоторой функции u на дифференциал другой функции dv: int{}{}{udv} . Далее, используя формулу интегрирования по частям int{}{}{udv}=uv-int{}{}{vdu}, заменяем исходный интеграл другим который, как правило, более простой для вычисления.

Применим вышесказанное к нашему интегралу. Считаем u=x , тогда

dv=(5*{sin}x-7*{cos}x)dx,~du-dx,

v=int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=5*int{}{}{{sin}xdx}-7*int{}{}{{cos}xdx}=

{}=-5*{cos}xdx-7*{sin}x.

Воспользовавшись вышеприведенной формулой, в итоге получим следующее:

int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=x*(-5*{cos}x-7*{sin}x)-

-int{}{}{(-5*{cos}x-7{sin}x)dx}=x*(-5*{cos}x-7*{sin}x)+

+5*int{}{}{{cos}xdx}+7*int{}{}{{sin}xdx}=-x*(5*{cos}x+7*{sin}x)+

+5*{sin}x-7*{cos}x+C.

Ответ: int{}{}{x*(5*{sin}x-7*{cos}x)dx}=
{}=-x*(5*{cos}x+7*{sin}x)+5*{sin}x-7*{cos}x+C.

Пример. Метод замены переменной неопределенного интеграла.

Дано: интеграл $int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}.$
Найти:
Вычислить неопределенный интеграл методом замены переменной.

Решение:
Метод замены переменной: вместо исходной переменной x, вводится новая переменная k, связанная с x соотношением: k=omega(x) , где — дифференцируемая функция переменной x.

Применяем вышеприведенное к нашему интегралу, обозначаем через новую переменную интегрирования k выражение, стоящее в знаменателе подинтегральной функции k=sin2x+x^3, значит, dk=(2*cos2x+3*x^2)dx . Получаем преобразованный интеграл:

$int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}=int{}{}{{dk}/{k^{1/2}}}.$

Вычисляем полученный интеграл по переменной k и возвращаемся к старой переменной x, с учетом того, что k=sin2x+x^3:

$int{}{}{{dk}/{k^{1/2}}}={k^{1/2}}/{1/2}+C=2*sqrt{k}+C=2*sqrt{sin2x+x^3}+C.$

Ответ: $int{}{}{{2*cos2x+3*x^2}/{(sin2x+x^3)^{1/2}}dx}=2*sqrt{sin2x+x^3}+C.$

Примеры действий над комплексными числами

Формулы и уравнения с комплексными числами здесь.

Пример. Сумма комплексных чисел.

Дано: z_1=5+i*10;~z_2=2+i*4.
Найти: ${z_1}+{z_2}-?$

Решение:
Исходя из того, что сумма комплексных чисел — это комплексное число, действительная часть которого равна сумме действительных частей, а мнимая часть равна сумме мнимых частей суммируемых комплексных чисел z_1+z_2=(x_1+x_2)+i*(y_1+y_2) , получим:

z_3=z_1+z_2=(5+2)+i*(10+4)=7+i*14 .

Ответ: z_3=7+i*14 .

Пример. Разность комплексных чисел.

Дано: z_1=4+i*8;~z_2=3+i*5.
Найти: ${z_1}-{z_2}-?$

Решение:
Исходя из того, что разность комплексных чисел — это комплексное число, действительная часть которого равна разности действительных частей, а мнимая часть равна разности мнимых частей вычитаемых комплексных чисел z_1-z_2=(x_1-x_2)+i*(y_1-y_2) , получим:

z_3=z_1-z_2=(4-3)+i*(8-5)=1+i*3 .

Ответ: z_3=1+i*3 .

Пример. Произведение комплексных чисел.

Дано: z_1=2+i*3;~z_2=4+i*5.
Найти: ${z_1}*{z_2}-?$

Решение:
Исходя из того, что перемножение комплексных чисел выполняется с помощью обычного раскрытия скобок с последующим выделением вещественной и мнимой частей (следует учесть i²=-1)
z_3=z_1*z_2=(x_1+i*y_1)*(x_2+i*y_2)=

${}={x_1}*{x_2}+i*{x_1}*{y_2}+i*{x_2}*{y_1}+i^2*{y_1}*{y_2}=$

${}=({x_1}*{x_2}-{y_1}*{y_2})+i*({x_1}*{y_2}+{x_2}*{y_1}),$ получим:

z_3=z_1*z_2=(2+i*3)*(4+i*5)=

{}=(2*4-3*5)+i*(2*5+4*3)=-7+i*22.

Ответ: z_3=-7+i*22 .

Пример. Деление комплексных чисел.

Дано: z_1=1+i;~z_2=2+i*2.
Найти: ${z_1}/{z_2}-?$

Решение:
Исходя из того, что при делении комплексных чисел результат представляют в виде дроби, после чего числитель и знаменатель этой дроби умножают на число, комплексно сопряженное знаменателю:
${z_1}/{z_2}={{x_1}+i*{y_1}}/{{x_2}+i*{y_2}}={({x_1}+i*{y_1})*({x_2}-i*{y_2})}/{({x_2}+i*{y_2})*({x_2}-i*{y_2})}=$

${}={{x_1}*{x_2}+{y_1}*{y_2}+i*({x_2}*{y_1}-{x_1}*{y_2})}/{{x_2}^2+{y_2}^2}=$

${}={{x_1}*{x_2}+{y_1}*{y_2}}/{{x_2}^2+{y_2}^2}+i*{{{{x_2}*{y_1}-{x_1}*{y_2}}/{{x_2}^2+{y_2}^2}}},$ получим:

${z_1}/{z_2}={{1}+i*{1}}/{{2}+i*{2}}={({1}+i*{1})*({2}-i*{2})}/{({2}+i*{2})*({2}-i*{2})}=$

${}={{1}*{2}+{1}*{2}+i*({2}*{1}-{1}*{2})}/{{2}^2+{2}^2}={{1}*{2}+{1}*{2}}/{{2}^2+{2}^2}+i*{{{2}*{1}-{1}*{2}}/{{2}^2+{2}^2}}={1/2}+i*{0/8}=1/2$

Ответ: ${z_1}/{z_2}=1/2$ .

Пример. Возведение комплексного числа в степень.

Дано: z=2+i*2 .
Найти: z^4-?

Решение:
Исходя из того, что для возведения комплексного числа в степень его представляют в тригонометрической форме, после чего модуль комплексного числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на эту степень:
$z=r*(cos{varphi} + {i}sin{varphi}),~z^n={r^n}*(cos({n}*{varphi}) + {i}*sin({n}*{varphi})),$ получим: