Примеры решения рядов
• Исследование на сходимость и сумма ряда
• Необходимый признак сходимости рядов
• Достаточные признаки сходимости положительных рядов

Формулы и уравнения рядов здесь.

Пример. Исследование на сходимость и сумма ряда.

Дано: ряд
Найти: сумму ряда в случае его сходимости.

Решение.

Представим члены ряда в виде суммы двух слагаемых:

Получается, что n-я частичная сумма ряда может быть записана в виде:

Отсюда следует, что .

Ряд сходится. Сумма ряда равна .

Пример. Необходимый признак сходимости рядов.

Дано: ряд
Найти:
Проверить выполнение необходимого признака сходимости рядов.

Решение.

Необходимый признак сходимости рядов заключается в том, что если числовой ряд сходится, то
Как следствие, если ≠ 0, то ряд расходится.

Для данного в задаче числового ряда:
≠ 0. Ряд расходится.

Примеры. Достаточные признаки сходимости положительных рядов.

Дано: ряды
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Найти:
Исследовать ряды на сходимость.

Решение.

1) Исходя из того, что ≤ при всех n и обобщенный гармонический ряд сходится, следует то, что ряд с меньшими членами сходящийся.

2) Исходя из того, что если выполняются условия: ln n ≥ 0 при n ≥ 1, то ≥ при n ≥ 1.
Обобщенный гармонический ряд расходится, следовательно, ряд с большими членами также расходится.

3) Из ряда выделим главную часть n-го члена: при n→∞ ∼ .
Заданный ряд и ряд ведут себя одинаково, так как .
Геометрический ряд сходится, значит, ряд также сходится.

4) Из ряда выделим главную часть n-го члена: при n→∞ ∼ .
Порядок < 1, поэтому ряд расходится.

5) Из ряда выделяем главную часть n-го члена ряда:
при n→∞ ∼ .
Порядок > 1, поэтому ряд сходится.

6) Из ряда выделяем главную часть n-го члена ряда:
при n→∞ ∼
Порядок , поэтому ряд расходится.

Примеры решения дифференциальных уравнений
• Частное решение дифференциального уравнения
• Решение ДУ с разделяющимися переменными
• Решение однородного ДУ первого порядка
• Решение линейного ДУ первого порядка
• Уравнение Бернулли

Методы решения дифференциальных уравнений здесь.

Пример. Частное решение дифференциального уравнения (ДУ)

Дано: ДУ y′′ + y = 0.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Так как (sinx)′′ = −sinx, (cosx)′′ = −cosx, функция вида будет удовлетворять уравнению.

Если c₁ = 1, c₂ = 3, то

если c₁ = 0, c₂ = -2, то

Пример. Решение ДУ с разделяющимися переменными.

Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.

Решение:
Данное в задаче уравнение удобно записать в виде:

Перепишем уравнение в виде равенства дифференциалов двух функций одного аргумента:

Умножим правую и левую часть уравнения на .

Получим: .

Если дифференциалы функций равны, то сами функции отличаются на константу. Тогда общий интеграл этого ДУ имеет вид:
ln|y| = ln|x| + ln|c|, где постоянная интегрирования представлена в логарифмической форме.

Отсюда следует: ln|y| = ln|с×x|, |y| = |с×x|, x ≠ 0.

Пример. Решение однородного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ
Найти: решение ДУ.

Решение:
Правая часть уравнения есть функция только отношения значит ДУ однородное.

Принимаем: . Значит .

Наше уравнение приобретает вид:

ln|lnu| = ln|x| + ln|c|, lnu=c×x, отсюда .

В итоге, получаем:

Пример. Решение линейного ДУ первого порядка.

Дано: ДУ x ≠ −1.
Найти: решение ДУ.

Решение:
Принимаем: .

Получаем: ,

,

.

Определяем v из ДУ:

ln|v| = 2×ln|x+1|, отсюда .

Находим u из ДУ:
.

Запишем общее решение ДУ: .

Пример. Уравнение Бернулли.

Дано: ДУ .
Найти: решение ДУ.

Решение:
Уравнение Бернулли — это ДУ вида где P(x), Q(x) – непрерывные функции или постоянные.
При n = 0 оно линейное, при n = 1 с разделяющимися переменными.

В нашем случае

Умножаем обе части, данного в условии задачи, уравнения на .

Получаем:

Заменим:

Получим:

Принимаем:

Получаем линейное ДУ для v:
Отсюда ln|v| = x², .

Запишем уравнение для u:

Тогда

Сразу заменив , можно было решить уравнение Бернулли как линейное.

Примеры решения производных
• Производная суммы функций
• Производная произведения функций
• Производная отношения функций
• Производная сложной функций
• Производная функции заданной параметрически

Пример. Производная суммы функций.

Дано: сумма функций .
Найти:
Вычислить производную суммы функций

Решение:
Исходя из того, что производная алгебраической суммы (разности) функций, имеющих производную, равна такой же сумме (разности) производных этих функций: используя формулы производных (ссылка), вычислим производную, заданной в условии задачи суммы функций:

Ответ: производная суммы функций равна

Пример. Производная произведения функций.

Дано: произведение функций .
Найти:
Вычислить производную произведения функций

Решение:
Исходя из того, что производная двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: найдем производную, заданного в условии задачи произведения функций:

Ответ: производная произведения функций равна

Пример. Производная отношения функций.

Дано: отношение функций .
Найти:
Вычислить производную отношения функций

Решение:
Исходя из того, что производная отношения двух функций, имеющих производную, вычисляется по формуле: определим производную, заданного в условии задачи отношения функций:

Ответ: производная отношения функций равна

Пример. Производная сложной функций.

Дано: сложная функция .
Найти:
Вычислить производную сложной функции

Решение:
Исходя из того, что функция имеет производную в точке а функция имеет производную в точке причем сложная функция будет иметь производную в точке и в нашем случае получаем следующее а Тогда а значит

Ответ: производная сложной функции равна

Пример. Производная функции заданной параметрически.

Дано: функция заданная параметрически .
Найти:
Вычислить производную функции заданной параметрически.

Решение:
Исходя из того, что производная функции, заданной параметрически, то есть в виде соотношения где изменяется в пределах некоторого множества, определяется по формуле вычислим производную, заданной в задаче функции:

Производная параметрически заданной функции будет тоже функция, заданная параметрически:

Ответ: производная параметрически заданной функции равна