Аналитическая геометрия

Аналитическая геометрия на плоскости

    Основные формулы

  • Расстояние между точками A(x1, y1) и B(x2, y2)
    d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  • Координаты точки С(x, y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x1, y1) и B (x2, y2), в отношении {lambda}={AC}/{CB}
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {{x_1+{lambda}*x_2}/{1+{lambda}}} {y} {=} {{y_1+{lambda}*y_2}/{1+{lambda}}}}}{}, λ ≠ -1
  • Координаты середины отрезка АВ
    x={x_1+x_2}/2;~y={y_1+y_2}/2
  • Условие принадлежности трёх точек (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) одной прямой
    delim{|}{matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {1~} {x_2} {y_2} {1~} {x_3} {y_3} {1~}} }{|}=0
  • Площадь треугольника с вершинами (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) (знак выбирается так, чтобы площадь была неотрицательной)
    S={pm}{1/2}delim{|}{matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {1~} {x_2} {y_2} {1~} {x_3} {y_3} {1~}} }{|}={pm}{1/2}delim{|}{matrix{2}{2}{{x_2-x_1} {y_2-y_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1~}} }{|}
    Прямая на плоскости

  • Общее уравнение прямой
    Ax+By+C=0
  • Уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) перпендикулярно нормальному вектору {A;B}
    A(x-x_0)+B(y-y_0)=0
  • Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) параллельно вектору {l;m}
    {x-x_0}/l={y-y_0}/m
  • Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0, y0) параллельно вектору {l;m}
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x_0+lt} {y} {=} {y_0+mt}}}{}, t ∈ (-∞, ∞)
  • Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1, y1) и (x2, y2)
    {y-y_1}/{y_2-y_1}={x-x_1}/{x_2-x_1}
  • Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где {alpha}~{in}~(0,{pi}/2)~union~({pi}/2,{pi}) — угол наклона прямой к оси Оx
    y=kx+b,~k=tg{alpha}
  • Уравнение прямой в отрезках, где (a;0) и — координаты точек пересечения прямой с осями Оx и Оy
    {x/a}+{y/b}=1, a ≠ 0, b ≠ 0
  • Нормальное уравнение прямой, где р — расстояние от начала координат до прямой, α — угол между осью Оx и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат
    xcos{alpha}+ysin{alpha}-p=0
  • Нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С
    {Ax+By+C}/{{pm}sqrt{A^2+B^2}}=0
  • Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax+By+C=0
    d={delim{|}{{Ax_0}+{By_0}+{C}}{|}}/{sqrt{{A}^2+{B}^2}}
  • Координаты точек пересечения двух прямых
    A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0
    x_0=delim{|}{matrix{3}{1}{{B_1~~C_1~} {{B_2~~C_2~}/{A_1~~B_1}~} {A_2~~B_2~}} }{|},~y_0=delim{|}{matrix{3}{1}{{C_1~~A_1~} {{C_2~~A_2}/{A_1~~B_1}~} {A_2~~B_2~}} }{|}
  • Координаты точек пересечения прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2
    delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x_0} {=} {{b_2-b_1}/{k_1-k_2}} {y_0} {=} {{b_2k_1-b_1k_2}}/{k_1-k_2}}}{}
  • Условия параллельности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
    A_1B_2-A_2B_1=0,~{k_1}={k_2}
  • Условия перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
    A_1A_2-B_1B_2=0,~{k_1}{k_2}=-1
  • Острый угол α между двумя прямыми, заданными в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
    tg{alpha}=delim{|}{{A_1B_2-A_2B_1}/{A_1A_2+B_1B_2}}{|},
    tg{alpha}=delim{|}{{k_1-k_2}/{1+k_1k_2}}{|},
    k1k2 ≠ -1, {alpha}={pi}/2, если k1k2 = -1.

Аналитическая геометрия в пространстве

    Плоскость в пространстве

  • Общее уравнение плоскости:
    {Ax}+{By}+{Cz}+D=0.
  • Уравнение плоскости, проходящей через точку (x_0,~y_0,~z_0) перпендикулярно вектору overline{n}=delim{lbrace}{A,~B,~C}{rbrace}:
    A(x-{x_0})+B(y-{y_0})+C(z-{z_0})=0.
    Пример 16.
  • Уравнение плоскости «в отрезках»:
    {x/a}+{y/b}+{z/c}=1..
    Пример 17.
  • Нормальное уравнение плоскости (p – расстояние от начала координат до плоскости, {cos α, cosβ, cosγ} — единичный вектор нормали к плоскости):
    xcosα + ycosβ + zcosγ — p = 0.
  • Нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D):
    {{Ax}+{By}+{Cz}+D}/{{pm}sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}=0.
  • Расстояние от точки (x_0,~y_0,~z_0) до плоскости, заданной общим уравнением:
    d={delim{|}{{Ax_0}+{By_0}+{Cz_0}+D}{|}}/{{pm}sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}=0.
  • Уравнение плоскости, проходящей через три точки (x_i,~y_i,~z_i) (i=1, 2, 3):
    delim{|}{matrix{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1}}}{|}=0.
  • Угол varphi между плоскостями {A_i}x+{B_i}y+{C_i}z+D_i=0~(i=1,~2):
    {cos{varphi}}={delim{|}{{A_1}{A_1}+{B_1}{B_1}+{C_1}{C_1}}{|}}/{sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}*{sqrt{{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2}}}.
  • Условие параллельности плоскостей {A_i}x+{B_i}y+{C_i}z+D_i=0~(i=1,~2):
    {A_1}/{A_2}={B_1}/{B_2}={C_1}/{C_2}.
  • Условие перпендикулярности плоскостей {A_i}x+{B_i}y+{C_i}z+D_i=0~(i=1,~2):
    {A_1}{A_2}+{B_1}{B_2}+{C_1}{C_2}=0.
  • Расстояние между двумя параллельными плоскостями
    {Ax}+{By}+{Cz}+D_1=0 и {Ax}+{By}+{Cz}+D_2=0:
    d={delim{|}{D_1-D_2}{|}}/{sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}.
    Прямая в пространстве

  • Общие уравнения прямой
    delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{A_{1}x} {+} {B_{1}y} {+} {C_{1}z} {+} {D_1} {=} {0~} {A_{2}x} {+} {B_{2}y} {+} {C_{2}z} {+} {D_2} {=} {0~}}}{}
  • Канонические уравнения прямой, проходящей через точку (x_0, y_0, z_0) и имеющей направляющий вектор {l, m, n}
    {{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n}
  • Уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости
    delim{lbrace}{matrix{3}{7}{{mx} {-} {ly} {+} {(ly_{0}-mx_0)} {=} {0~} {nx} {-} {mz} {+} {(mz_{0}-ny_0)} {=} {0~} {nx} {-} {lz} {+} {(lz_{0}-nx_0)} {=} {0~}}}{}
  • Параметрические уравнения прямой
    delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{x} {=} {x_0} {+} {lt~} {y} {=} {y_0} {+} {mt~} {z} {=} {z_0} {+} {nt~}}}{}
  • Соотношения между координатами направляющего вектора прямой и коэффициентами общих уравнений прямой
    delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{l} {=} {B_{1}C_{2}} {-} {B_{2}C_{1}~} {m} {=} {C_{1}A_{2}} {-} {C_{2}A_{1}} {n} {=} {A_{1}B_{2}} {-} {A_{2}B_{1}~}}}{}
  • Канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами (x_i,~y_i,~z_i)~(i=1,~2)
    {{x-x_1}/{x_2-x_1}}={{y-y_1}/{y_2-y_1}}={{z-z_1}/{z_2-z_1}}
  • Угол varphi между прямыми с направляющими векторами {l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
    {cos{varphi}}={delim{|}{{l_1}{l_2}+{m_1}{m_2}+{n_1}{n_2}}{|}}/{sqrt{{l_1}^2+{m_1}^2+{n_1}^2}*{sqrt{{l_2}^2+{m_2}^2+{n_2}^2}}}.
  • Условие параллельности двух прямых с направляющими векторами {l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
    l_1/l_2=m_1/m_2=n_1/n_2
  • Условие перпендикулярности двух прямых с направляющими векторами
    {l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
    l_1*l_2+m_1*m_2+n_1*n_2=0
    Прямая и плоскость в пространстве

  • Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общими уравнениями
    delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{A_{1}x} {+} {B_{1}y} {+} {C_{1}z} {+} {D_1} {=} {0~} {A_{2}x} {+} {B_{2}y} {+} {C_{2}z} {+} {D_2} {=} {0~}}}{}
    A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+{lambda}*(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0,~{lambda}{in}{R}
  • Координаты точки пересечения прямой {{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n} и плоскости Ax+By+Cz+D=0
    delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{x} {=} {x_0} {+} {lt_1~} {y} {=} {y_0} {+} {mt_1~} {z} {=} {z_0} {+} {nt_1~}}}{}, где
    t_1={Ax_0+By_0+Cz_0+D}/{Al+Bm+Cn}
  • Угол между прямой {{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n} и плоскостью Ax+By+Cz+D=0
    {sin{varphi}}={delim{|}{{Al}+{Bm}+{Cn}}{|}}/{sqrt{{A}^2+{B}^2+{C}^2}*{sqrt{{l}^2+{m}^2+{n}^2}}}.
  • Условие перпендикулярности прямой {{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n} и плоскости Ax+By+Cz+D=0
    A/l=B/m=C/n
  • Условие параллельности прямой {{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n} и плоскости Ax+By+Cz+D=0
    Al+Bm+Cn=0