Аналитическая геометрия на плоскости
Основные формулы
- Расстояние между точками A(x1, y1) и B(x2, y2)
![d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} d=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_30eb88cee485fa242c5ff533cfaca719.png)
- Координаты точки С(x, y), которая делит отрезок, соединяющий точки A (x1, y1) и B (x2, y2), в отношении
![{lambda}={AC}/{CB} {lambda}={AC}/{CB}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_75e7d62bd55b8031395576eac6ed297e.png)
, λ ≠ -1
- Координаты середины отрезка АВ
![x={x_1+x_2}/2;~y={y_1+y_2}/2 x={x_1+x_2}/2;~y={y_1+y_2}/2](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980_cfa09c75478e1a0ee7634ecc75fa43d7.png)
- Условие принадлежности трёх точек (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) одной прямой
![delim{|}{matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {1~} {x_2} {y_2} {1~} {x_3} {y_3} {1~}} }{|}=0 delim{|}{matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {1~} {x_2} {y_2} {1~} {x_3} {y_3} {1~}} }{|}=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_36d699078d9818f29e884a269979f568.png)
- Площадь треугольника с вершинами (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) (знак выбирается так, чтобы площадь была неотрицательной)
![S={pm}{1/2}delim{|}{matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {1~} {x_2} {y_2} {1~} {x_3} {y_3} {1~}} }{|}={pm}{1/2}delim{|}{matrix{2}{2}{{x_2-x_1} {y_2-y_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1~}} }{|} S={pm}{1/2}delim{|}{matrix{3}{3}{{x_1} {y_1} {1~} {x_2} {y_2} {1~} {x_3} {y_3} {1~}} }{|}={pm}{1/2}delim{|}{matrix{2}{2}{{x_2-x_1} {y_2-y_1~} {x_3-x_1} {y_3-y_1~}} }{|}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_913dca62e6aa8cad9d351c786f773dca.png)
Прямая на плоскости
- Общее уравнение прямой
![Ax+By+C=0 Ax+By+C=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_c82f18b5b624049328a3a93fde53d0a1.png)
- Уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) перпендикулярно нормальному вектору {A;B}
![A(x-x_0)+B(y-y_0)=0 A(x-x_0)+B(y-y_0)=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_35afef30237d5badbf8af5fe934cc153.png)
- Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (x0, y0) параллельно вектору {l;m}
![{x-x_0}/l={y-y_0}/m {x-x_0}/l={y-y_0}/m](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_a66dfc91f48d948c050a4d2221d3f129.png)
- Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку (x0, y0) параллельно вектору {l;m}
, t ∈ (-∞, ∞)
- Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки (x1, y1) и (x2, y2)
![{y-y_1}/{y_2-y_1}={x-x_1}/{x_2-x_1} {y-y_1}/{y_2-y_1}={x-x_1}/{x_2-x_1}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_1cca20d5f1ac9f9e7c2442a78fcc297d.png)
- Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, где
— угол наклона прямой к оси Оx
![y=kx+b,~k=tg{alpha} y=kx+b,~k=tg{alpha}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_67a267295154bbf14718d5ffe2e5f364.png)
- Уравнение прямой в отрезках, где (a;0) и — координаты точек пересечения прямой с осями Оx и Оy
, a ≠ 0, b ≠ 0
- Нормальное уравнение прямой, где р — расстояние от начала координат до прямой, α — угол между осью Оx и перпендикуляром к прямой, проходящим через начало координат
![xcos{alpha}+ysin{alpha}-p=0 xcos{alpha}+ysin{alpha}-p=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_221bf12b8d26762319508ce094be1013.png)
- Нормальный вид общего уравнения прямой; знак нормирующего множителя противоположен знаку С
![{Ax+By+C}/{{pm}sqrt{A^2+B^2}}=0 {Ax+By+C}/{{pm}sqrt{A^2+B^2}}=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_964_5694458f7318bf33d79b66dea77ec175.png)
- Расстояние от точки (x0, y0) до прямой Ax+By+C=0
![d={delim{|}{{Ax_0}+{By_0}+{C}}{|}}/{sqrt{{A}^2+{B}^2}} d={delim{|}{{Ax_0}+{By_0}+{C}}{|}}/{sqrt{{A}^2+{B}^2}}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_964_c044963c021031f513613e384c01ce63.png)
- Координаты точек пересечения двух прямых
A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0
![x_0=delim{|}{matrix{3}{1}{{B_1~~C_1~} {{B_2~~C_2~}/{A_1~~B_1}~} {A_2~~B_2~}} }{|},~y_0=delim{|}{matrix{3}{1}{{C_1~~A_1~} {{C_2~~A_2}/{A_1~~B_1}~} {A_2~~B_2~}} }{|} x_0=delim{|}{matrix{3}{1}{{B_1~~C_1~} {{B_2~~C_2~}/{A_1~~B_1}~} {A_2~~B_2~}} }{|},~y_0=delim{|}{matrix{3}{1}{{C_1~~A_1~} {{C_2~~A_2}/{A_1~~B_1}~} {A_2~~B_2~}} }{|}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_938_feffd4fe1502bbe96a3c3a78109c52c9.png)
- Координаты точек пересечения прямых y=k1x+b1 и y=k2x+b2
![delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x_0} {=} {{b_2-b_1}/{k_1-k_2}} {y_0} {=} {{b_2k_1-b_1k_2}}/{k_1-k_2}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x_0} {=} {{b_2-b_1}/{k_1-k_2}} {y_0} {=} {{b_2k_1-b_1k_2}}/{k_1-k_2}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_939.5_e50623c862a2158380b6aeacff940f29.png)
- Условия параллельности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
![A_1B_2-A_2B_1=0,~{k_1}={k_2} A_1B_2-A_2B_1=0,~{k_1}={k_2}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_984_826399ebb4646de221b0c45b71ae758d.png)
- Условия перпендикулярности прямых, заданных в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
![A_1A_2-B_1B_2=0,~{k_1}{k_2}=-1 A_1A_2-B_1B_2=0,~{k_1}{k_2}=-1](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_984_460f7fd30a9f55cad23ee9098c6daaf5.png)
- Острый угол α между двумя прямыми, заданными в общем виде A1x+B1y+C1=0, A2x+B2y+C2=0 и в виде y=k1x+b1, y=k2x+b2
,
,
k1k2 ≠ -1,
, если k1k2 = -1.
Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость в пространстве
- Общее уравнение плоскости:
![{Ax}+{By}+{Cz}+D=0. {Ax}+{By}+{Cz}+D=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_6bb5bd92b3a34cea67c44a631f6a2bfd.png)
- Уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
:
![A(x-{x_0})+B(y-{y_0})+C(z-{z_0})=0. A(x-{x_0})+B(y-{y_0})+C(z-{z_0})=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_53118532ad077e67760c18eac8372193.png)
Пример 16.
- Уравнение плоскости «в отрезках»:
.
Пример 17.
- Нормальное уравнение плоскости (p – расстояние от начала координат до плоскости, {cos α, cosβ, cosγ} — единичный вектор нормали к плоскости):
xcosα + ycosβ + zcosγ — p = 0.
- Нормальный вид общего уравнения плоскости (знак нормирующего множителя противоположен знаку D):
![{{Ax}+{By}+{Cz}+D}/{{pm}sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}=0. {{Ax}+{By}+{Cz}+D}/{{pm}sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_964_1863349963d068b46fa73de89b9c6c83.png)
- Расстояние от точки
до плоскости, заданной общим уравнением:
![d={delim{|}{{Ax_0}+{By_0}+{Cz_0}+D}{|}}/{{pm}sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}=0. d={delim{|}{{Ax_0}+{By_0}+{Cz_0}+D}{|}}/{{pm}sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_964_9bffee992c64d5e7ad1f1a02c797c524.png)
- Уравнение плоскости, проходящей через три точки
(i=1, 2, 3):
![delim{|}{matrix{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1}}}{|}=0. delim{|}{matrix{3}{3}{{x-x_1} {y-y_1} {z-z_1} {x_2-x_1} {y_2-y_1} {z_2-z_1} {x_3-x_1} {y_3-y_1} {z_3-z_1}}}{|}=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_951.5_0fb33f9c95d9b7a581e162b40a9769a9.png)
- Угол
между плоскостями
:
![{cos{varphi}}={delim{|}{{A_1}{A_1}+{B_1}{B_1}+{C_1}{C_1}}{|}}/{sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}*{sqrt{{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2}}}. {cos{varphi}}={delim{|}{{A_1}{A_1}+{B_1}{B_1}+{C_1}{C_1}}{|}}/{sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}*{sqrt{{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2}}}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_954_d8928b9e55aff62441434f31cca0e679.png)
- Условие параллельности плоскостей
:
![{A_1}/{A_2}={B_1}/{B_2}={C_1}/{C_2}. {A_1}/{A_2}={B_1}/{B_2}={C_1}/{C_2}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_7d46d6e293f4c5ad2f9f8b657b1af655.png)
- Условие перпендикулярности плоскостей
:
![{A_1}{A_2}+{B_1}{B_2}+{C_1}{C_2}=0. {A_1}{A_2}+{B_1}{B_2}+{C_1}{C_2}=0.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_984_a580a8ddf9ccd454db81042d214de923.png)
- Расстояние между двумя параллельными плоскостями
и
:
![d={delim{|}{D_1-D_2}{|}}/{sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}. d={delim{|}{D_1-D_2}{|}}/{sqrt{{A^2}+{B^2}+{C^2}}}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_964_debc796c926719357e95c6a76dca4318.png)
Прямая в пространстве
- Общие уравнения прямой
![delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{A_{1}x} {+} {B_{1}y} {+} {C_{1}z} {+} {D_1} {=} {0~} {A_{2}x} {+} {B_{2}y} {+} {C_{2}z} {+} {D_2} {=} {0~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{A_{1}x} {+} {B_{1}y} {+} {C_{1}z} {+} {D_1} {=} {0~} {A_{2}x} {+} {B_{2}y} {+} {C_{2}z} {+} {D_2} {=} {0~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_965.5_39ba2fe4e6142682fa25952488a5a471.png)
- Канонические уравнения прямой, проходящей через точку
и имеющей направляющий вектор {l, m, n}
![{{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n} {{x-x_0}/l}={{y-y_0}/m}={{z-z_0}/n}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_e8ec0d00566547301558d1a832f5480a.png)
- Уравнения прямой в виде проекций на координатные плоскости
![delim{lbrace}{matrix{3}{7}{{mx} {-} {ly} {+} {(ly_{0}-mx_0)} {=} {0~} {nx} {-} {mz} {+} {(mz_{0}-ny_0)} {=} {0~} {nx} {-} {lz} {+} {(lz_{0}-nx_0)} {=} {0~}}}{} delim{lbrace}{matrix{3}{7}{{mx} {-} {ly} {+} {(ly_{0}-mx_0)} {=} {0~} {nx} {-} {mz} {+} {(mz_{0}-ny_0)} {=} {0~} {nx} {-} {lz} {+} {(lz_{0}-nx_0)} {=} {0~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_925.5_f516bdb8fa22d0736d22a663926edaf0.png)
- Параметрические уравнения прямой
![delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{x} {=} {x_0} {+} {lt~} {y} {=} {y_0} {+} {mt~} {z} {=} {z_0} {+} {nt~}}}{} delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{x} {=} {x_0} {+} {lt~} {y} {=} {y_0} {+} {mt~} {z} {=} {z_0} {+} {nt~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_947.5_19c413040f26c17f0e9d7c7de9744fa2.png)
- Соотношения между координатами направляющего вектора прямой и коэффициентами общих уравнений прямой
![delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{l} {=} {B_{1}C_{2}} {-} {B_{2}C_{1}~} {m} {=} {C_{1}A_{2}} {-} {C_{2}A_{1}} {n} {=} {A_{1}B_{2}} {-} {A_{2}B_{1}~}}}{} delim{lbrace}{matrix{3}{5}{{l} {=} {B_{1}C_{2}} {-} {B_{2}C_{1}~} {m} {=} {C_{1}A_{2}} {-} {C_{2}A_{1}} {n} {=} {A_{1}B_{2}} {-} {A_{2}B_{1}~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_947.5_76d0e8e055dd1695d8558165354f2754.png)
- Канонические уравнения прямой, проходящей через точки с координатами
![(x_i,~y_i,~z_i)~(i=1,~2) (x_i,~y_i,~z_i)~(i=1,~2)](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_543801452991405a0678e2814833f8f1.png)
![{{x-x_1}/{x_2-x_1}}={{y-y_1}/{y_2-y_1}}={{z-z_1}/{z_2-z_1}} {{x-x_1}/{x_2-x_1}}={{y-y_1}/{y_2-y_1}}={{z-z_1}/{z_2-z_1}}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_0166b3d9e6999f940ba4eb9c24b67dfb.png)
- Угол
между прямыми с направляющими векторами {l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
![{cos{varphi}}={delim{|}{{l_1}{l_2}+{m_1}{m_2}+{n_1}{n_2}}{|}}/{sqrt{{l_1}^2+{m_1}^2+{n_1}^2}*{sqrt{{l_2}^2+{m_2}^2+{n_2}^2}}}. {cos{varphi}}={delim{|}{{l_1}{l_2}+{m_1}{m_2}+{n_1}{n_2}}{|}}/{sqrt{{l_1}^2+{m_1}^2+{n_1}^2}*{sqrt{{l_2}^2+{m_2}^2+{n_2}^2}}}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_954_1648592b56c6f998b33983f23d68bcbc.png)
- Условие параллельности двух прямых с направляющими векторами {l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
![l_1/l_2=m_1/m_2=n_1/n_2 l_1/l_2=m_1/m_2=n_1/n_2](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_972_a74ea8b20593be539d822e25701204f0.png)
- Условие перпендикулярности двух прямых с направляющими векторами
{l1, m1, n1} и {l2, m2, n2}
![l_1*l_2+m_1*m_2+n_1*n_2=0 l_1*l_2+m_1*m_2+n_1*n_2=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_984_2f00dc6ddee96e1bb6c2bd6ce73b9153.png)
Прямая и плоскость в пространстве
- Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую, заданную общими уравнениями
![delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{A_{1}x} {+} {B_{1}y} {+} {C_{1}z} {+} {D_1} {=} {0~} {A_{2}x} {+} {B_{2}y} {+} {C_{2}z} {+} {D_2} {=} {0~}}}{} delim{lbrace}{matrix{2}{9}{{A_{1}x} {+} {B_{1}y} {+} {C_{1}z} {+} {D_1} {=} {0~} {A_{2}x} {+} {B_{2}y} {+} {C_{2}z} {+} {D_2} {=} {0~}}}{}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_965.5_39ba2fe4e6142682fa25952488a5a471.png)
![A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+{lambda}*(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0,~{lambda}{in}{R} A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1+{lambda}*(A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2)=0,~{lambda}{in}{R}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_f50953d2ce7c86fdfb5acd10073e5d84.png)
- Координаты точки пересечения прямой
и плоскости ![Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_a13f31035b824d376c827ada5ecfba35.png)
, где
![t_1={Ax_0+By_0+Cz_0+D}/{Al+Bm+Cn} t_1={Ax_0+By_0+Cz_0+D}/{Al+Bm+Cn}](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_980_6bbc84d06f9aaa3904b87f8c5152c50b.png)
- Угол между прямой
и плоскостью ![Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_a13f31035b824d376c827ada5ecfba35.png)
![{sin{varphi}}={delim{|}{{Al}+{Bm}+{Cn}}{|}}/{sqrt{{A}^2+{B}^2+{C}^2}*{sqrt{{l}^2+{m}^2+{n}^2}}}. {sin{varphi}}={delim{|}{{Al}+{Bm}+{Cn}}{|}}/{sqrt{{A}^2+{B}^2+{C}^2}*{sqrt{{l}^2+{m}^2+{n}^2}}}.](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_964_bb62ecd02e3cbf988dba5055590d6d03.png)
- Условие перпендикулярности прямой
и плоскости ![Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_a13f31035b824d376c827ada5ecfba35.png)
![A/l=B/m=C/n A/l=B/m=C/n](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_981_d373ef34ab62268e64bae7d203946887.png)
- Условие параллельности прямой
и плоскости ![Ax+By+Cz+D=0 Ax+By+Cz+D=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_a13f31035b824d376c827ada5ecfba35.png)
![Al+Bm+Cn=0 Al+Bm+Cn=0](http://matematika.electrichelp.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_992_599e321ee470f1684992be6e2292a0c4.png)
Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач