Кривые второго порядка

Эллипс

эллипс

Эллипс — геометрическое место всех точек M(x, y), для которых сумма расстояний до двух заданных точек F₁(+c, 0) и F₂(-c, 0) (называемых фокусами эллипса) постоянна и равна 2a(a > c).
$delim{|}{vec{{F_1}M}}{|}+delim{|}{vec{{F_2}M}}{|}=2a$ и $delim{|}{vec{{F_1}F_2}}{|}=2c,~c^2=a^2-b^2$
Каноническое уравнение эллипса
Элементы эллипса
Точка О — центр;
точки A, B, C, D — вершины;
точки F₁(+c, 0) и F₂(-c, 0) — фокусы;
2c — фокусное расстояние;
AB = 2a и CD = 2b — большая и малая оси;
a и b — большая и малая полуоси;
$e=c/a=sqrt{1-{{b^2}/{a^2}}},~(e<1)$ — эксцентриситет эллипса (чем больше e, тем более вытянут эллипс вдоль большой оси);
$p={b^2}/a$ — фокальный параметр (половина хорды, проведённой через фокус параллельно малой оси).
Уравнения правой и левой директрис:
Параметрические уравнения эллипса:
,
где t — параметр, t ∈ [0, 2π);
(t — угол, образованный подвижным радиусом с положительным направлением оси OX).
Уравнение эллипса в полярных координатах, связанных с фокусом:
$rho={{b^2}/a}/{1-e*cos{varphi}}$ .
Эксцентриситет эллипса:
$e={sqrt{a^2-b^2}}/a$ .

Окружность

Окружность — геометрическое место точек, равно-удаленных от точки О (центр).
Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат:
x² + y² = R².
Уравнение окружности радиуса R с центром в точке (x₀, y₀):
(x – x₀)² + (y – y₀)² = R².
Параметрические уравнения окружности с радиусом R и центром в точке (x₀, y₀):
$delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x_0+R*cost~} {y} {=} {y_0+R*sint~}}}{}$
Уравнение окружности в полярных координатах с центром в начале координат: ρ = R.
Уравнение окружности с центром в точке (α₀, ϕ₀):
ρ² – 2×ρ×ρ₀×cos(ϕ – ϕ₀) + ρ²₀ = R²
Уравнение окружности с центром в точке (a/2, 0) и радиусом a/2: ρ = a×cosϕ

Гипербола

Гипербола — геометрическое место всех точек M (x, y), для которых абсолютная величина разности расстояний до двух заданных точек F₁(+c, 0) и F₂(−c, 0) (называемых фокусами гиперболы) постоянна и равна 2a (a < c).
$delim{|}{vec{{F_1}M}}{|}-delim{|}{vec{{F_2}M}}{|}=2a$ и $delim{|}{vec{{F_1}F_2}}{|}=2c$ , .
Каноническое уравнение параболы: ${x^2}/{a^2}-{y^2}/{b^2}=1.$
Элементы гиперболы:
точка О – центр;
точки А и В – вершины;
точки F₁(+c, 0) и F₂(−c, 0) – фокусы;
2с – фокусное расстояние;
AB=2a – действительная ось гиперболы;
CD=2b – мнимая ось гиперболы;
(e > 1) – эксцентриситет $e=sqrt{1+{{b^2}/{a^2}}};$
— асимптоты гиперболы;
$p={b^2}/a$ – фокальный параметр гиперболы.
Уравнения директрис гиперболы:
Параметрические уравнения одной ветви гиперболы:
t ∈ (-∞, ∞)
Уравнение правой ветви гиперболы в полярных координатах, связанных с фокусом:
$rho={{b^2}/{a^2}}/{1-{e}*cos{varphi}},$ $e={sqrt{a^2+b^2}}/a$ – эксцентриситет гиперболы.

Парабола

Парабола — геометрическое место точек M(x, y), равноудалённых от заданной точки F(p/2, 0) (фокус) и от данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы:
Элементы параболы:
точка О — вершина;
OX — ось параболы;
точка F(р/2, 0) — фокус;
— уравнение директрисы;
e = 1 — эксцентриситет;
p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или половины хорды, проходящей через фокус перпендикулярно оси OX).
Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке (x₀, y₀):
Уравнение параболы в полярных координатах, связанных с фокусом:
Параметрические уравнения параболы:
t ≥ 0.

Уравнения вырожденных кривых второго порядка

Уравнения двух пересекающихся прямых:
$a^2x^2-c^2y^2=0,~ y={pm}{a/c}x$
Уравнения двух параллельных прямых:
$y^2-a^2=0,~ y={pm}{a}$
Уравнение двух прямых, совпадающих с осью OX:

Формулы преобразования координат

Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей в точку (х₀, у₀):
$delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}+x_0,~} {y} {=} {y{prime}+y_0;~}}}{}$ $delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}-x_0,~} {y} {=} {y{prime}-y_0.~}}}{}$
Уравнение окружности с центром в точке O₁ (x₀, y₀) и радиусом R:
Уравнения эллипса и гиперболы с центром симметрии в точке O₁ (x₀, y₀):
${(x-x_0)^2}/{a^2}{pm}{(y-y_0)^2}/{b^2}=1$
Уравнения директрис эллипса и гиперболы:
$x-x_0={pm}{a/e}$
Уравнения асимптот гиперболы:
$y-y_0={pm}{b/a}(x-x_0)$
Уравнение параболы с вершиной в точке O₁ (x₀, y₀):
Уравнение директрисы параболы:
$x-x_0=-{p/2}$
Формулы преобразования координат при повороте координатных осей на угол α в положительном (против часовой стрелки) направлении:
Формулы преобразования координат при параллельном переносе координатных осей в точку (x₀, y₀) и повороте их на угол α в положительном направлении:
$delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {x{prime}cos{alpha}-y{prime}sin{alpha}+x_0,~} {y} {=} {x{prime}sin{alpha}+y{prime}cos{alpha}+y_0;~}}}{}$ $delim{lbrace}{matrix{2}{3}{{x} {=} {(x-x_0)cos{alpha}+(y-y_0)sin{alpha},~} {y} {=} {-(x-x_0)sin{alpha}+(y-y_0)cos{alpha}.~}}}{}$

Полярные координаты на плоскости

Полярные координаты определяются заданием на плоскости полюса О и полярной оси.
Координаты точки М в полярных координатах задаются длиной радиус-вектора этой точки и углом его поворота относительно полярной оси.
При этом 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π.
Связь полярных координат с декартовыми
${rho}=sqrt{x^2+y^2},~ tg{varphi}=y/x$ .

В полярных координатах кривые второго порядка имеют уравнения
,
если полюс находится в фокусе, полярная ось направлена из фокуса к ближайшей вершине (для гиперболы этим уравнением определяется только одна ветвь); p – фокальный параметр, е – эксцентриситет кривой.

Поверхности второго порядка

Уравнение эллипсоида
${x^2/a^2}+{y^2/b^2}+{c^2/z^2}=1$
Уравнение однополостного гиперболоида
${x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=1$
Уравнение двуполостного гиперболоида
${x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=-1$
Уравнение эллиптического параболоида
${x^2/a^2}+{y^2/b^2}=pz$
Уравнение гиперболического параболоида
$-{x^2/a^2}+{y^2/b^2}=pz$
Уравнение конуса
${x^2/a^2}+{y^2/b^2}-{z^2/c^2}=0$
Уравнение эллиптического цилиндра
${x^2/a^2}+{y^2/b^2}=1$
Уравнение гиперболического цилиндра
${x^2/a^2}-{y^2/b^2}=1$
Уравнение параболического цилиндра
p ≠ 0

Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач